非常严肃认真的一篇文章

      基础教育数学教材对于基础教育的重要性不言自明，我国在教材改革方面做了大量的探索，取得了丰硕的成果，无论是内容的广度还是理论的呈现方式都发生了巨大的变化。作为长期关注中小学数学教育并深入一线与中学老师合作研讨的大学教师，我不想对中小学数学教材的编写指手画脚。不过作为一家之言，自以为是地谈谈个人认为的教材中的瑕疵或许不是个坏事，至少对于基础教育教材的修订可以提供一点微不足道的参考。

教材既是教育改革成果的集中体现，也是教师进行课堂教学的基础，教材的成败直接关系到教育的成败，一部成功的教材可以造福几代学子。多年的教育改革催生了一批基础教育数学教材，与传统教材相比，这些教材改进了什么？体现了什么样的教育理念？是否符合学生的认知规律？这是值得大家认真反思的问题。

目前出版发行的中学数学教材有很多种，除了以人民教育出版社、北师大出版社、华东师大出版社为代表的几种不同版本的教材之外，一些省也编写了自己的教材。与传统教材相比，这些教材有几个显著的特点：1、注重生活体验。这是符合学生的认知规律的，根据数学教育基本原理，数学教育应该注重学生的生活体验与数学现实，即已有的数学知识，教材很好地做到了这一点。2、教材信息量大。这与课程标准的制定不无关系，客观地说，作为基础教育阶段，适当增加知识的广度，对于开拓学生的视野、提高数学素养是有益的，至于深度如何把握则是个有待进一步探讨的问题。3、注重数学史。教材中对数学史上一些重要的事件多有介绍，它对于激发学生的学习热情，理解一些重要数学概念与原理的来龙去脉无疑是有帮助的。教材的亮点很多，相信实际的使用者，中小学一线教师对此感触更深。

也许任何事物都没有绝对的完美，教材也不例外，这里主要谈谈教材中存在的一些瑕疵，希望能对今后的改进提供一点参考，本文并非针对哪一部教材，大多数问题可能具有一定的共性。

一、问题的真伪性

注重问题的引入是值得肯定的，问题是一切科学的灵魂，纵观整个数学史，数学的发展本来就是个发现问题、分析问题、解决问题的过程。教材由问题出发引入概念与基本原理绝对是正确的做法，但是问题有真问题与伪问题之分，教材中应该尽量避免伪问题。

教材中关于问题引入部分值得斟酌的地方颇多。例如数学史上历经了近三百年之久的重要概念--复数，被教材一句数域的扩充便解决了。具体地说，为了让-1的平方根也有意义，所以引入了虚数概念。问题是为什么要引入负数的平方根？为什么要让方程x²+1=0有解？有一种观点认为，有些陈述性概念由于历史比较复杂，不妨先承认，将来再进一步澄清。即便这种观点站得住脚，也不应该以伪问题作为导入，因为历史上复数的出现与上述一元二次方程没有关系。

原理的引入也存在这个问题。某个教材为了引入基本不等式，以天平两边的臂长有误差为例引出了两个正数的算术平均与几何平均，然后不了了之，转入了基本不等式的证明。以天平实验引入存在两个问题：（1）、物理实验的误差通常涉及很多因素，包括刻度、人眼的观察等，你怎么知道天平两边的臂长就一定是你说的l1与l2？你又如何保证肉眼读出的数据是准确的？（2）、姑且假定导致误差的唯一因素是天平的臂长，你又如何通过这个实验说明两个正数的算术平均数不小于几何平均数？要知道这节课的主题是基本不等式。显而易见，教材的引入方法值得商榷。

二、内容的科学性与严谨性

数学是一门严谨的学问，教材的陈述应该尊重数学的科学性与严谨性。就数学概念而言，其认知过程通常需要经过“感知、想象、概括、固化、应用、结构”六个环节，这六个环节不一定需要在教材中完整体现，更多地体现在课堂教学中。但作为数学概念，其定义应该是严格的。数学概念大体可以分为两类，一类是描述性概念，也可以称之为“原生性”概念，它是从同类客观现实对象中抽象而来的，其形成是一个不断归纳的过程。另一类是以数学概念为基础经过抽象而形成的概念，其形成过程通常是归纳、演绎等一种或多种数学推理参与完成，这类概念也可以称之为“次生性”概念。对于原生性概念，老师可以在课堂教学中通过各种实例找出其中的共性，最后形成数学概念。教材可以从实际出发引入概念，也可以直接给出严格的数学概念，因为教材只是个半成品，需要教师的再创造。但是，不管选择什么陈述方式，数学概念的定义应该是严谨的。遗憾的是，有些教材并不是这么做的，以直线定义为例，这是个典型的原生性概念。教材以两个探究性问题开始：（1）要在墙上固定一根木条，使它不能转动，至少需要几个钉子？（2）经过一点O画一条直线，能画出几条？经过两点A、B呢？两个探究性问题的确从具体到一般了，可至始至终没有给出直线的数学定义，需知数学上抽象的直线与生活中的直线是有本质不同的，它没有宽度也没有厚度，如果没有严格的数学定义，学生如何完成从感知到概括抽象的数学化过程？作为教材，这是值得商榷的，传统教材及西方某些教材在这方面做得比较好。

三、历史事件的偶然性与必然性

与日常生活一样，科学的发展也存在偶然性与必然性，教材在选择历史事件时应该选择根据科学原理获得的具有必然性的事件。某些带有偶然性的事件可以作为人文轶事的课外参考，而不应作为引发重要概念与定理的依据。

以数列为例，教材应该如何引入数列的概念？有教材以1801年意大利天文学家比亚兹发现的谷神星为例说明数列的重要性是值得商榷的。这一章的开始是这么说的：“下面一列数

3,6,12,24,48,96,192，…

同学们可能并不在意，但普鲁士天文学家提丢斯却把它和下面的表格联系起来，推导出从太阳到行星距离的经验定律，并探明了一些新的行星（或小行星）！….”

教材似乎混淆了物理经验与数学原理之间的差别，提丢斯发现几个行星到太阳的距离与他给出的数列中前几项的数字比较吻合，于是猜测在这些位置应该有一些新的行星。这里有几个问题是存疑的：1、根据这个数列可以发现多少行星？是不是行星的分布真的符合这个规律？被发现的行星是偶然的还是必然的？2、根据逻辑演绎出的数学定律与科学原理相吻合的例子确实司空见惯，问题是天文学的这个经验被证真或证伪了吗？一个科学经验如果尚未被证真或证伪，是否适合拿到教材中作为驱动重要数学概念或原理产生的本原性问题？从数列产生的时间点看，它也远比谷神星的发现早得多，微积分的诞生都已经是三百多年前的事了。

从另一个角度说，引入性的例子应该反映概念或原理的本质。数列的本质是什么？是变化着的量，换句话说，随着项的不同，这些数在变，具体地说就是按照一定顺序排成一列的数。用映射的语言来说即自然数集合到数集的一个对应关系。生活中、自然科学或社会科学领域数列的例子俯拾皆是，天文学的例子虽然有物理味道，却淡化了数列的本质，这个例子强调的是数学规则推演出的数列与行星的关系还是强调这个数列本身？如果是前者，这个关系是不清楚的，也无法从数学上搞清楚，甚至这种关系可能根本不成立。

数学教材能结合生活实际与数学史甚至自然科学固然是件好事，但这种结合应该是自然的，不应该为了结合而结合，否则将显得牵强附会。人教版教材对于数列的呈现方式还是不错的，简洁明了。数学教材中不一定所有内容都需要生活化，尤其涉及历史的时候需要尊重历史，这里的历史主要指与重要数学概念或原理的产生相关的历史，即促使这个概念或原理产生的最初根源，或者叫本原性问题。天文学的例子作为阅读材料或作为附录的方式呈现未尝不可，但作为概念的引入多少有点不那么自然。

四、主题的鲜明性

无论是教材的一章还是一节，应该明确主题，需要解决什么问题？这个问题的重要性体现在哪里？如果没有把握说清楚问题本身的意义，宁可不说，可以直奔数学化的主题。例如，在基本不等式一节，有些教材开宗明义，通过代数式直接给出并证明了基本不等式，笔者以为这比设计一个伪问题、伪情境强得多。有些教材中不仅存在很多伪问题，也存在一些主题不明确的问题，二元一次线性规划部分便是如此。有些教材没有讲清楚线性规划是干什么的，可以解决什么问题，而是先设计一个与二元一次不等式（组）相关的生活问题，在区域的形状上纠缠半天。第二节从数学上的一个例子开始求二元一次函数的最值，再也没有回头关注一下第一节开始的生活中的例子。当然如果像人教版教材那样标题本身就是“二元一次不等式（组）与简单的线性规划”，那么线性规划作为二元一次不等式（组）的应用之一，是可以先不忙亮明线性规划主题的。似乎没必要着意为了生活化而设计一个生活中的问题，直接数学化有何不可。在这个问题上，个人觉得人教版的教材更严谨一些。虽说有点鸡蛋里挑骨头的嫌疑，但作为涉及千家万户学子的基础教育教材，精益求精也是应该的。笔者认为，如果这一章开始就通过实际的例子阐明线性规划的重要性，然后指出解线性规划问题的关键是搞清楚可行域，再回头研究二元一次不等式（组）或许更符合逻辑。

说到底，教材只是个半成品，需要老师在课堂教学中再创造才能真正发挥教材的作用。限于篇幅，教材很难面面俱到地把所有理论的来龙去脉阐述清楚，更多地需要注意逻辑上的严谨性与内容的科学性。各章节以适当的问题引入从而驱动内容的展开未尝不可，但需要教材编写者对相关内容的背景、历史烂熟于心，而不是凭借主观臆想编造一些所谓的问题，那样只会弄巧成拙。有些问题不妨放在教师参考书中供教师教学参考，不一定放在教材中。