今天给本科生讲通识课，说到了数学史，其间再次问学生：“老师是怎么给你们讲复数概念的？”依然没有一个学生讲出她的来龙去脉。记得在一篇博文中提到这件事的时候，有位游客说道：“为了便于学生理解，老师为什么不可以用x²+1=0在实数范围内无解从而说明需要扩充数域？”看来有必要就这个事情详细谈谈。

过去人们研究的方程都限定在有理数范围内，直到今天还有人在此领域内纠结，纠结者正是数论与代数几何学家们。虽说后来有了无理数这个魔鬼，数域得到了扩充从而有了与有理数域完全不同的域—实数域，其本质的不同在于前者不完备，后者完备，当然在极限概念产生之前，这个问题是说不清的。但即使有了魔鬼，大家对有些方程依然是不感冒的，包括x²+1=0这样的方程，换句话说，凡是在实数范围内无解的方程大家都不屑一顾。那么虚数这个虚无缥缈的东西到底是怎么出现的？我们来看一个具体的方程：x³-15x-4=0，很容易看出，这个方程有一个实根x=4，因此方程左边有一个因子x-4。通过待定系数法可以将方程分解，得到一个一元二次方程，求解可以看出，方程有三个实根。对于一般的高次方程有没有类似于二次方程的求根公式？这是当时人们感兴趣的问题，科学网上曾经的烽火也源于此。通过线性变换可以消去二次项（只需令x=y-b/3即可），从而将方程转换成如下特殊的方程：

x³+px+q=0

16世纪卡尔达诺（Cardano）找到了这个方程的根式解：

x₁={q/2+[(q/2)²+(p/3)³]^1/2}^1/3+{q/2-[(q/2)²+(p/3)³]^1/2}^1/3

x₂={q/2+[(q/2)²+(p/3)³]^1/2}^1/3-{q/2-[(q/2)²+(p/3)³]^1/2}^1/3

这就是著名的卡尔达诺公式，任何数学手册中都应该可以找到这个公式。有意思的是，当我们用这个公式解前面那个具体的方程时却出现了负数的平方根，这是历史上第一次真正关心负数开平方。大家之所以对负数开平方有了兴趣，完全是因为在用根式求解三次方程时回避不了这个问题。现在理解了为什么古人不认同二次方程出现负数开平方但对三次方程中出现的负数开平方却没有呲之以鼻了吧？

当然，复数得到大家的普遍认同经历了长达200多年的历史，很多数学家引用了复数，但他们也都很谨慎的宣称，这个数是虚拟的，根本不存在的，直到高斯将复数与平面直角坐标系内的点做了一一对应，复数才真正登堂入室成了广为人们认可的对象。那时的人们尽管不可能不接触像x²+1=0这样的方程，但由于它在实数范围内无根，所以大家并不关心它。

有人认为，一些陈述性概念由于历史比较复杂，很难向学生解释清楚。我觉得，如果果真没办法解释清楚，那只能说明这个概念不适合在这个时候提出来，既然要提，就应该尊重历史，不可以杜撰历史。复数很早就进入了高中课本，我们能不能讲清楚复数产生的背景？我认为是完全可以用科普的方式说清楚的，因为到了高中阶段，学生已经知道了直角坐标，所有必备的知识学生都具备了，虽然比简单地用方程x²+1=0在实数范围内无解说明引入复数的必要性要耗费更多的时间，但学生从中了解了真实的历史，知道数学并不是数字与符号游戏。