如果你对Lebesgue积分一无所知，读这篇文章有一定困难，不过可以忽略细节，寻找其中闪光的思想。

常有学生询问这样的问题：“学习实变有什么用？”这个问题的确不那么好回答，什么叫有用？概念没有明确。杨老弟也问过类似的问题：“在工程上有没有应用？”这个问题比较具体一些。如果要回答这个问题的话，需要扯的话题比较多，包括傅里叶分析、小波分析等，待我有时间专门回答这个问题。这里还是限于Lebesgue积分的教学。

虽然Lebesgue积分的定义与Riemann积分完全不同，但Riemann积分的思想在Lebesgue积分中依然发挥了举足轻重的作用，很难想象，没有Riemann积分思想的闪耀，会有Lebesgue积分理论的诞生。所以在教学过程中应该注意两者之间的比较，学会如何从熟悉的理论中发现新的东西。

Lebesgue积分的性质不仅与Riemann积分十分相似，证明的思想方法也非常相似，学生对证明的理解应该不会有太大的困难。但Lebesgue积分对可积性的要求比较低，对于有界函数而言，可测就行了。一般可测函数的Lebesgue积分定义看起来与广义Riemann积分有很大不同，但如果我们仔细分析一下广义Riemann积分会发现，两者之间有着内在联系。例如，当我们考察函数f(x)=1/x^p (p>0)在（0,1）上的可积性时通常是将瑕点x=0挖掉，即取充分小的正数δ，在[δ，1）上做积分，然后令δ→0，只要极限存在，就说f(x)在（0,1）上可积。我们可以从Lebesgue积分的视角重新考察这个函数的积分，Lebesgue积分通常是将函数截断，换句话说，作截断函数：  

f_n(x)=f(x)，x∈[1/n，1），f_n(x)=0，x∈（0，1/n）。

于是得到一个有界可测函数序列{f_n}，它处处收敛到f。f_n(x)在(0,1)上的Lebesgue积分与f(x)在[1/n，1）上的Riemann积分是一样的。可见，对于非负函数而言，两者本质上相同。采取截断函数的好处在于函数可以在定义域的很多地方出现奇异现象（类似瑕点），不需要在逐个点进行考察。例如，在微积分中，当我们考察g(x)=1/[x^p(1-x)^q  ](p,q>0)在（0,1）上的可积性时，通常是对两个瑕点x=0与x=1分别考察，但如果采用截断函数的办法就不需要逐点考察了。这个方法与Lebesgue积分改对定义域的划分为对值域的划分异曲同工，它使得更一般可测集上无界函数的积分有了定义的可能。对于无限测度集，同样采取截断的办法，即用一个半径为n的球S_n将定义域E切下来，先在E∩S_n上作积分，然后令n趋于无穷取极限，这与广义Riemann积分是相似的。

由于实变函数理论中允许函数取值为无穷大，当然也允许Lebesgue积分取值为无穷大，所以在Lebesgue积分中，“可积”与“积分存在”是不同的概念。也正因为如此，一般可测函数的Lebesgue积分通常是先定义非负函数的积分，再将一般函数分解成正部与负部，即令

f⁺(x)=[|f(x)|+f(x)]/2，f^—(x)= [|f(x)| - f(x)]/2，

若正部与负部的积分均为有限值，则称f(x)可积，若两者至少有一个有限，则称函数的积分存在。正是这个积分定义决定了f与|f|可积性的等价，同时也说明对于广义积分来说，Riemann可积并不意味着Lebesgue可积，你能说清楚其中的原因吗？

由于一般可测函数的Lebesgue积分是按正负部分别进行的，所以有界可测函数的积分性质不能简单地搬过来，需要重新证明。不过本质上没有什么难度，只要搞清楚

(f+g)⁺、(f+g)^-与f⁺、f^-及g⁺、g^-之间的关系就很容易证明了，你能弄清楚它们之间的关系吗？

至此，Lebesgue积分的基本概念及其基本性质已经清楚了，不过有一个问题始终没有涉及，这就是Lebesgue积分的计算问题。虽然由于可测函数的复杂性，一般情况下，如果一个函数没有具体的表达式，你即使知道积分是存在的，也很难算出它的积分。如果函数具有解析表达式呢？换句话说，如果函数是一个初等函数或者分段函数，你能算出它的Lebesgue积分吗？显而易见，如果我们能说清楚两种积分之间的关系，也许这个问题就不是个问题了。这就回到了前面说过的一个问题：

Riemann可积是否意味着Lebesgue可积？两种积分是否相等？

对这个问题的探讨恰好可以帮助我们认识一下两种不同的分割方法如何转换。学习过Riemann积分的人一定还记得一句著名的话：“相对于分割的加细，大和不增，小和不减”，只要将大和与小和中的小区间长度换成对应区间的特征函数便得到了两个简单函数，这两个单调函数的Lebesgue积分正好是Riemann大和与小和。通过对定义域的分割不断加细，大和对应的简单函数列是单调递减的，小和对应的简单函数列是单调递增的，通过证明这两个简单函数列的极限相等并与原来的函数几乎处处相等便不难证明：

定理：如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且

$\int_{[a,b]}f(x)dx$ = $\int_{a}^{b}f(x)dx$。

由此可见，当我们需要计算一个具体的积分时，常常是回归到Riemann积分，标题中的问题也就不难回答了。

既然最终要回到Riemann积分，为什么费劲巴力地建立另一套积分理论？欲知详情，且听下回分解。