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说课(9)(Lebesgue积分)--实变函数 精选

已有 17423 次阅读 2013-4-17 14:21 |个人分类:数学常识|系统分类:教学心得|关键词:积分| 积分

本学期给本科生讲授实变函数,所以继续说课。不过科学网的公式编辑器实在不怎么样,编译不了Latex公式,有点郁闷。

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虽然我们完全可以从古老的面积问题开始逐步诱导出测度概念,但如果在课程的开始不简单阐述一下Lebesgue积分的思想,学生对为什么要定义Lebesgue测度还是会感到有点突兀。所以,我在正式讲授实变函数之前,会首先介绍Lebesgue积分的来龙去脉。

学过微积分的人都非常清楚,微积分不仅是数学史上的一次革命,也让很多过去令人望而生畏的问题变得异常简单。例如,在微积分产生之前,除了直线型、圆形的面积问题,稍微一般的图形面积问题对于一般人来说是个只敢欣赏不敢触碰的问题。然而,微积分的致命缺陷也是显而易见的,一个最突出的缺陷是,黎曼积分关于极限不是封闭的,这就好比有理数不完备一样,使得很多问题在有理数范围内无解,黎曼积分也是如此。如果要你举一个黎曼不可积函数的例子,估计90%以上的人立马想到那个病得不轻的函数—Dirichlet函数,这是一个及其“不正常”的函数--处处不连续,很容易验证它不可积。退一步讲,即使一个可积函数序列的极限依然是个可积函数,也未必能保证积分与极限可以交换顺序。积分与极限的交换顺序问题无论从理论还是应用的角度都是十分重要的,只要你意图用数值方法进行近似计算,就不可避免地涉及这个问题,有时候为了验证积分与极限的交换性,需要耗费大量的精力,也许费了半天的功夫后发现,前面所做的一切全都是在浪费时间,因为你所取函数序列积分的极限压根就不收敛到极限的积分。

那种认为工科学生只需要知道如何计算的观点是绝对错误的,数学思想对于任何需要使用数学的人都是至关重要的。黎曼积分为什么会出现那么多致命的缺陷?不把这个问题搞清楚,你就无法理解勒贝格为什么用了另一种特殊的方法定义新型的积分。

先来回顾一下Riemann积分的定义,也许从定义中可以找出问题的症结所在。

定义:假设?y=f(x)是区间[a,b]上的函数,若存在某个常数A,使得对区间[a,b]的任一分割Δ:a=x0<x1<x2<<xn=b及任意${\xi}_{i}$∈[xixi+1,i=0,1,,n-1,只要max{0in-1} (xi+1-xi)0,就有?

?∑i=0n-1f(ξi)(xi+1-xi)→A,   (1)

则称f在[a,bRiemann可积,?A称为f在[a,b]上的定积分。

     从上述定义可以看出,如果f(x)在[a,b]上可积,则对[a,b]内任一充分小的邻域,f(x)在其上值的变化不能太大,否则(1)中和式的极限可能会不存在。由此看来,(1)式对函数有了特定的要求,它要求这些函数必须是“循规蹈矩”的,即(1)式中极限存在的函数要“基本上”是连续的,事实上,这已为人们所证明(这里所说的“基本上”稍有含糊,所幸不妨碍对问题的理解)。这说明,问题恰恰出在Riemann积分的定义本身,若想使事情得以解决,就必须摆脱Riemann积分的局限。

法国著名数学家勒贝格(Lebesgue,Henri Leon)给我们带来了全新的观点,他凭着基于直观几何概念的深刻的洞察力,给分析学开辟了新天地,这就是Lebesgue积分理论。Lebesgue放弃了对函数的定义域进行分割并进而求和的方法,转而对函数的值域进行分割。

为方便起见,不妨以a,b]上有界函数y=f(x)为例,假设mf(x)M,对[m,M]作任意分割:c0<m<c1<c2<<M<cn,则对f的定义域中任意xf(x)必定位于某个(cici+1]。考虑所有其值位于(cici+1] 中的那些x,即(cici+1]的原像,记作Ei=x|ci<f(x)ci+1。直观上看来,y=f(x)连续时,Ei是一些区间的并。

我们暂时先假定f是连续的,这样Ei貌似有“长度”,即几个(也可能是无穷多个)小区间长度之和,作和式?

S(f)=Σi=0n-1ξi|Ei|, cii ≦ ci+1  (2)?

(也可以f(xi)代替ξixiEi)其中|Ei|表示那些小区间长度之和。当maxi(ci+1-ci)0时,S(f)有没有极限?极限是什么?仔细分析一下,此时S(f)的极限其实就是fRiemann积分。这就是说,用上述方法分割求和相对于连续函数来说与Riemann积分是一样的(以后将会看到,在一元函数情形,除了广义Riemann积分外,凡Riemann可积函数在这种意义下都是可积的)

如果f在[a,b]上不连续,情形会怎样呢?此时Ei就未必是区间组成的了,这从狄里克雷函数便可看出,因而Ei就没有通常的“长度”了,(2)式自然没有意义。要解决这一问题,就有必要对一般的集合Ei建立“长度”概念,这正是“测度”的由来,前面已经讨论了集合的测度问题。

我们已经看到有些集合是不可测的,那么什么样的函数f使得Ei可测?什么样的f使得(2)式有极限?于是“可测函数”及新型“可积函数”的概念便由此产生,这就是著名的Lebesgue积分。初看起来,除了定义的角度、观点不同,Lebesgue积分似乎无更多新意。其实不然,这一理论给数学带来的影响是深刻和巨大的,它除了使可积函数的范围扩大了以及为积分与极限交换顺序等问题提供了更方便实用的理论外,其更深远的影响在于为泛函分析的产生奠定了基础,也使得概率论很自然地成为近代数学的一个重要分支。



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