标题看起来有点牛头不对马嘴，庄子与二进制有何相干？二进制与区间套又有几毛钱关系？稍安勿躁，且听我慢慢道来。

《庄子.天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”庄子的话充分说明很久以前我们的老祖宗就有着深刻的极限思想了。我们可以用二进制来表示庄子这句话，一尺之棰可以抽象为单位长度，例如可以看成单位区间[0,1]，日取其半，即每天切下来一半，也就是说，第一天将[0,1]区间二等分，去其中之一，不妨取[1/2,1]。第二天再将[1/2,1]二等分，取其一半，还是取右边那个，即[1/2+1/$2^{2}$,1]。依次类推，第n天留下了[$1/2+\cdots +1/$2^{n}$,1]。所谓万世不竭，也只是有限天，就算一世一百年，一万世是一百万年，一年三百六十五天，可以算出，一万世之后尚留下了长度为1/$2^365000000$区间[$1/2+\cdots+1/$2^365000000$$,1]。如果用十进制小数来表达这个区间的左端点会把人算死，但如果用二进制来计算就很简单了，$1/2+\cdots+1/$2^365000000$=0.11\cdots 1$（共有365000000位1）。如果我们学习愚公移山的精神，将这根木棍当成传家宝，子子孙孙无穷尽地砍下去，最终得到了一个无穷小数$0.111111111\cdots $。这个小数是谁？在微积分理论产生之前，这个数如同幽灵般飘忽不定。芝诺与他的老师门巴尼德甚至拿这些数来相互嘲笑：1大于$0.999\cdots $还是小于$0.999\cdots $？

在这个分割的过程中，我们得到了一个区间套$\{[1/2+\cdots+1/2^{n},1]\}$，由区间套定理，这些区间有唯一的交点1，换句话说，区间的左端点$1/2+\cdots+1/2^{n}$以1为极限。对于熟悉微积分的人当然知道级数$\sum_{n=1}^{\infty }a^{n}$在$|a|<1$时是收敛的，$a=1/2$也不例外。

芝诺悖论的产生说明在古希腊时期就有极限思想的萌芽，只是人们说不清楚，一个无限小数是什么意思？在那时是无法理解的。即使在今天，如果你仅仅知道一些概念，而并不理解极限思想的本质，你一样无法理解为什么阿基里斯能够追上乌龟。当然，物理学家可以从物理学层面上理解芝诺悖论，哲学家可以从哲学层面上理解芝诺悖论。数学家理解芝诺悖论当然离不开极限。事实上，正如应行仁老师指出的，芝诺悖论的出现实际上是对极限的认识与理解问题，也即它是个数学问题，说它是个数学游戏并不为过。

我觉得古希腊数学家解释不了芝诺悖论不奇怪，但今天的微积思想是完全可以解释清楚的。至于是不是涉及到量子理论，可能是量子学家们的事情。我们生活在现实的时空中，直觉与经验告诉我们，时空是连续的。当然物理学家可以说时空不连续，这是个认识论问题，就好比你可以不承认欧氏几何的公设，或者说空间不是平直的，完全可以另起炉灶建立起一套“另类”的几何。

芝诺悖论暗含着深刻的逻辑问题，即形式逻辑与辩证逻辑的冲突，我们不妨来分析一下芝诺悖论中的逻辑问题。按照人们的经验，阿基里斯在通常的时间尺度下可以在有限的时间内追上乌龟，但芝诺将阿基里斯的运动路线进行了分割，我们不妨简化并抽象化一下芝诺的分割方法。假设一个人在一秒钟内可以从1走到0，现在将区间[0,1]用$\{1/n\}$来分割，这个人从1走到0之前必先走到1/2，从1/2走到0之前，一定要经过1/3，以此类推，无限次走下去，这个人始终走不到0点。从逻辑上讲，这里偷换了概念或时间尺度，把有限的时间1秒换成了无限的分割$\{1/n\}$。诚然，这里涉及时间的无限可分性，不是数学家可以解决的问题，但从数学上看，区间[0,1]是可以无限分割的，要让这个人走到0，就必须让他经过所有的$1/n$，也就是说，需要让n$\arrow \infty$，于是将出现$1/\infty =0$，这在形式逻辑中是不允许的。这正是为什么形式逻辑解释不了芝诺悖论的原因。

如果你不承认微积分，自当用别的方法去寻求解释，可是，芝诺悖论本来就是微积思想的产物，该用什么理论来解释这个悖论似乎不是个问题。