与多年的朋友小酌了几杯，难以入眠，干脆写点文字吧。

早在一个月前，组织者给我发出邀请，希望我来给西部高校教师培训班上一个星期的课，类似的课曾上过几次，第一次是在西安，讲的是“从导数说起”，讲稿曾在博客里发布过，这份讲稿后来成了《从微积分走向现代数学》中的一章，如今这本书已经一版再版，还算受欢迎。另一次是在川大做了一次报告，简单介绍了一点算子代数与代数拓扑以及与之相关的内容。这次的课比较特殊，我问组织者需要我讲什么内容，他们告诉我讲讲泛函分析，我又问讲什么起点下的泛函分析，是研究生起点还是本科生起点？他们说就讲本科的泛函分析。这可让我有点为难了，作为高校数学教师，谁没学过泛函分析？有些甚至讲过泛函分析课程，给他们讲本科起点的泛函分析还能讲出什么花样来？我带着疑惑来到成都，直到讲课的前一天晚上我问川大数学院负责此事的副院长：“你们到底希望我怎么讲？泛函分析都是他们比较熟悉的内容，还能讲什么？”胡院长告诉我：“给他们讲讲怎么上这门课。”我一下心里有底了，前几天的备课多余了，叫他们怎么上课不就是“胡侃”嘛。

不过胡侃也得让学员们不至于挑出太大的毛病，所以我当天晚上还是仔细思考了一番怎么讲，应该向学员们讲清楚哪些问题，经过深入的思考，终于胸有成竹了。

首先我向学员们介绍了泛函分析的前世今生，纠正了对这门学科可能产生的误会，误会主要来自两点，一是有人认为泛函分析是有限维线性空间在无限维空间上的平行推广，二是有人认为泛函分析的起源来自量子力学。历史上看，泛函分析主要来自变分法、傅里叶分析等学科，原打算花一个小时左右的时间解决这个问题，但最终花了差不多两个小时介绍泛函分析的起源。不过看起来并没有招到学员们的反感，第一天的课只有接近三十人听课，可后两天教室满座，已经超出了主办方告诉我的人数。我问胡院长：“为什么听课的人数超过了预计的三十多人？”胡院长告诉我：“有些研究生也去听了。”

令我苦恼的是，按照目前的讲授方法，很难在短短的一周内将整部泛函分析的教法讲完，所以我对学员们说：“我们不求全，但希望求精，希望能把我所讲的部分真正融会贯通，从方法论意义上讲，不仅一门学科中不同内容的教法有着相似性，即使是不同的课程之间，其教学方法也是想通的，所以我的目的是不管你教什么课程，都希望能从我的介绍中得到某种启示或借鉴。当然也许你对我的思想不以为然，那也没关系，可以把我的思想当做反面教材。我也希望这门课开成讨论班形式，大家有什么想法可以随时交流。”从三天的交流可以看出，大家对我的思想似乎还算肯定。好在学员中有我的博友，他可以及时发表看法。

我侧重对学员介绍了讲课中的几个基本要素：

1、在你讲授一门课程之前，首先应该向学生讲清楚这门课程是做什么的？她的起源是什么？其重要性体现在哪里？通常可以解决什么问题？

2、针对具体的内容需要讲清楚哪些问题？例如，我们为什么要引入线性距离空间与线性赋范空间？他起源于什么？这类空间为什么重要？如果恰当地定义这些空间？当你介绍这些空间时应该重点关注什么问题等等。

3、课堂教学与书本知识之间是什么关系？老师应该如何使用教材？在我看来，书本是知识的载体，而知识则是思想的载体，老师的任务是帮助学生将知识背后所展现的思想挖掘出来。例如空间完备化定理是泛函分析中第一个比较抽象、复杂、证明难度比较大的定理，老师该如何处理这个定理？

4、任何课程都是一个有机的整体，老师既要清楚她的精髓与重点还应该清楚她的难点，并且要注意在教学过程中分散难点。以完备化空间为例，在介绍线性赋范空间概念时老师通常会列举一些例子，最简单的例子莫过于闭区间上的连续函数空间，这是一个既简单，结构又比较丰富的函数空间，可以引导学生分析如何在这个空间上定义距离，既可以利用最大值定义距离，又可以利用积分定义距离，然后分析这两种距离之间的差别，引导学生发现前者对极限是封闭的，后者则不然。接着借题发挥，分析极限封闭的重要性，这就为后面介绍空间的完备性埋下了伏笔。当介绍到完备性概念时，学生就不至于感到突兀了，在介绍完备化定理时学生对完备空间的重要性也就清楚了，老师就可以将注意力放在如何将给定的空间完备化。空间的完备化证明是比较抽象的，怎样降低难度、做到直观、通俗易懂至关重要，可以从有理数的完备化开始，通过类比的方法逐步诱导到一般空间。

5、注意经典理论与现代理论的关系。作为教师，不能仅仅局限于对书本知识的理解与掌握，泛函分析作为一门比较近代的学科，其中尚有很多可以做的问题，所以我今天花了差不多两三个小时的时间介绍与之相关的近代理论以及存在的尚未解决的问题，为有兴趣的学员们提供了可能的研究方向。

6、注意各个学科之间的内在关系。就数学学科而言，分析、拓扑、几何乃至代数之间本来就有着千丝万缕的联系，作为教师，即使你不需要告诉学生这种内在的联系是什么，自己也应该清楚。同一个问题，我们既可以从几何的视角看，也可以从分析的视角看，还可以从代数的视角看。我特别提到了傅里叶分析以及微分方程、控制论、代数、拓扑、几何等学科之间的内在关系，还介绍了数学与物理特别是量子力学之间的关系，了解不同数学分支之间的内在联系是每一个数学教师应该具备的最起码的素养。

应该特别说明的是，日常关于教学及数学科普方面的文章对这次系统的讲座起到了一定作用，从这个意义上说，写博客并非不务正业。