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让数学思想的光芒照耀科学的每个角落 精选

已有 10773 次阅读 2008-11-17 23:13 |个人分类:教育改革|系统分类:教学心得

      有一种观点认为,非数学专业的学生,尤其是工科学生只要知道如何进行数学计算就可以了,至于数学思想则不必了解那么多。事实上,许多年来这种观点左右了很多老师的教学过程,一些老师在课堂教学中强调的是如何进行手工计算,这里特别说明手工计算是相对于计算机数值计算而言,目前,除了一些专门的课程,大学数学课程中计算机数值计算的内容并不多见。以微积分教学为例,老师往往将注意力集中在如何计算导数与积分,似乎学生掌握了导数计算、积分计算,就算是学好了微积分了。一些微积分教材也表达了这种观点。
       这里需要指出的是,我所说的数学思想并非指数学理论,两者是有差别的,现在有些学校以数学专业的《数学分析》教材取代《高等数学》教材,以此强化非数学类专业学生的数学基础,我没有实践过,所以不能对此妄加评论。不过,数学专业与非数学专业对于数学的要求与侧重点有所不同是不言自明的,从这个意义上说,或许有值得商榷的地方。我所说的思想指的是数学的科学思维方法,这种思维方法也许不一定需要通过抽象的数学理论来表达。令人遗憾的是,微积分的思想常常被淹没在一大堆抽象的符号和繁琐的演算之中,学生从教材乃至课堂上看不到微积分思想的光芒,常常为概念的晦涩难懂和演算的纷繁复杂而伤透脑筋。久而久之,微积分教学逐渐演变成了计算技巧与技能的培训。
       数学思想对于非数学专业的学生真的不重要吗?或者说非数学专业的学生真的掌握不了数学思想吗?历史上自然科学、社会科学各个领域取得杰出成就的成功人士(未必是真正意义上的科学家),大到诺贝尔奖获得者,小到各行各业工作岗位上的专业人士,其良好的数学修养发挥了十分重要的作用。当然,我没有做实际的统计,无法准确说出这些成功人士中具备很好的数学修养者的比例,但有一点是可以肯定的,对很多领域而言,没有良好的数学修养,难以有大作为。我曾经提出一种观点,一个大学生,他未来的成就如何,很大程度上取决于他的数学修养,至今我仍然认为这个观点没有错。由此看来,非数学专业的数学教学不在于需不需要数学思想,而是如何传授数学思想。我不认为加深数学理论的教学就能达到强化数学修养的目的,也许事情恰恰相反,学生会因为理论的深奥难懂望而却步。那么如何在不增加理论深度的情况下培养学生的数学思想呢?我以为,重要的在于如何让学生感受到数学的“通俗”而不是“抽象”!数学的“现实”而不是“空中楼阁”!尽管数学是严格而抽象的,但通俗与直观并不意味着放弃抽象,也不意味着放弃严格,而在于“度”的把握与表达的方式。
       微积分中碰到的第一个抽象的概念是“极限”,其抽象之处并不在于极限本身,而是极限的表达方式—“δ-ε语言。”讲授者费尽心机企图让学生掌握δ-ε语言,但无数次的实践表明:很难做到。这几乎成了所有微积分讲授者的心病,老师们各显其能,期望找到一种易于让学生接受的方法,但收效甚微。为什么一定要急于让学生掌握δ-ε语言呢?极限的思想并不体现在δ-ε语言上,它只是表达极限的方式之一。其实,极限概念本身并不难理解,它与我们的生活也比较贴近,为什么不把重心暂且放在极限思想的表述上呢?我们可以在学生充分理解了极限思想之后再适当介绍δ-ε语言,而且从误差估计的角度来讲或许更直观一些,例如,我们要保证球的体积不超过一定的误差限,球的半径误差限不能超过多少?这样或许更容易让学生理解,在此基础上归纳出极限的δ-ε语言,学生就应该不会感到突兀了。δ-ε语言的训练不需要太多,适当做些简单的即可。
      目前,数学课程改革名目繁多,从教材改革,到教学手段的改革,可谓五花八门,改革的目的当然是为了进一步提高数学教育质量,许多改革对教学的确起到了很好的促进作用,如多媒体的引入,无疑提高了教学效率,也丰富了教学资源。然而,不可否认的一个现实是,有些改革偏离了改革的初衷与正常的轨道,特别是在最重要的环节教学内容的改革上存在着某些偏差,有人认为,将一些更现代的数学理论加入课程中就是改革了,甚至有人认为可以用勒必格积分取代黎曼积分,我认为这是对课程改革的误导。诚然,课堂教学中适当介绍一些近现代数学理论,以收开拓视野之效是可以的,也应该提倡,但切不可冲淡主题。改革的主题应该是如何切实提高学生的数学修养与运用数学知识解决问题的能力。从这个意义上说,改革的重点不是如何增加数学内容和增加什么内容,而是如何使我们的学生更好的掌握现有的内容,如何掌握现有内容所折射的数学思想。
       以微积分中的函数与极限内容为例。这部分内容除了极限思想,还有两个重要的思想是应该向学生阐述清楚的,一是函数,二是连续。也许有人认为函数概念有什么思想可言,不就是对应关系嘛,问题恰恰出在这里,我们的学生学习了函数概念之后,脑袋里装了一大堆抽象的符号,能写出一大堆初等函数、分段函数,也会求定义域,还知道函数的各种各样的性质,可就是不知道这些函数意味着什么。我们完全可以从具体现象逐步切入函数,事实上,世间万物皆是不断变化的,人的生老病死,大海的潮涨潮落,经济市场的瞬息万变,无不体现了一个永恒的真理,不变是相对的,变是绝对的. 如何描述各种现象的变化规律?如何预测其变化趋势?函数是反映这些客观规律的重要模型,它告诉我们不同的量在某个过程中的内在关系,以及它们的变化规律,通过对这些函数模型的分析可以预测各种相关量的变化趋势. 这正是我们要介绍的两个重要概念—函数与极限。这段话告诉了我们函数与现实世界的关系,但还应该指出函数与现实世界的不同,所以我们应该清楚:建立模型的目的有两个,一是利用模型解释现实世界中的某种现象,二是利用模型对被研究的未来做预测 由此可见建立数学模型的重要性那么,如何根据实际问题建立数学模型呢?通常有如下几步:
(1) 首先我们要根据实际问题选择适当的自变量和因变量. 这是十分关键的一步,既要考虑到模型能反映客观现实,又要考虑到数学处理的方便 换句话说,我们需要做一些折衷. 因变量的确定是比较简单的,常常根据我们要解决的问题便可确定,但自变量的确定就不那么简单了,通常我们不可能将与某种现象有关的所有因素都罗列出来,而是确定影响某种现象的最本质因素,将之确定为自变量,也就是说,这样的量足以左右某种现象的变化
(2) 建立适当的函数关系. 建立函数关系有两种办法,一是根据某种现象的规律来建立,如天体的运动遵循牛顿定律,经济市场的各种现象通常遵循经济规律等等。二是采集数据再作数据处理,从中发现规律,通过将数据描点,就可以得到函数的图像表示,如一些统计图表就是这样得到的
(3) 利用数学知识或工具对模型做分析,给出该数学问题的解答。微积分就是要告诉我们如何分析这些数学模型
(4) 根据对数学问题的解答,作出实际问题的客观解释. 如果一个模型不仅能解释某种客观现象,还能对这种客观现象的未来作出比较准确的预测,这就是一个非常成功的模型了。
       这就是说,函数只是现实世界的近似。在此基础上再介绍我们常用的一些函数--初等函数。
         函数的连续性也蕴涵着深刻的数学思想,特别是闭区间上连续函数的性质,一般《高等数学》教材只介绍结论,不讲证明。我不主张详细讲解这些定理的证明,但闭区间所反映出的重要思想应该向学生有所交代,而且这一思想并不难理解。因为每本《高等数学》教材都介绍过数列的单调有界原理,所以讲清楚区间套定理的实质是很容易的。对于不同类型的区间,其上的连续函数是否会有所不同?所谓不同是指它们的性质是否依赖于区间的类型?闭区间上的连续函数是否必有界?通过对不同区间上连续函数的分析可以看到连续函数的有界性依赖于在区间端点的极限的存在性,而闭区间上的连续函数在端点的极限是存在的(因为它在端点连续),所以从直觉上判断,闭区间上连续函数的有界性是必然的。进而得到
   定理:(最大最小值定理)闭区间上的连续函数必有界,且一定能取得它的最大值和最小值。
    不幸的是,定理的证明需要一些关于闭区间的稍微专门的性质,我们且不必管它,不过,闭区间的一些重要特征蕴含了深刻的数学思想,它不仅是近代数学某些重要理论的“影子”,在许多实际问题中也有重要的应用。举例来说,闭区间有一个重要的性质,教科书中常称作闭区间套定理,非数学类的微积分教材一般是不介绍这个定理的,然而这却是一个十分重要的定理,闭区间上连续函数的几乎所有性质都依赖于这个定理。几何上看,函数的曲线在最小值和最大值之间是连续不断的。也就是说,如果我们将函数的最大值、最小值分别记作m与M,则对于任何介于m与M之间的数c,曲线均与水平线y=c相交。这一性质称之为介值定理,
    定理(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,其最大值与最小值分别为m与M,且m与M不等,则对任意的m<c<M,存在[a,b]中的点x,使得 f(x)=c.
   介值定理在理解上并无任何困难,而且从其几何直观可以看出,它为某些方程的解的存在性提供了保证.
   闭区间带给连续函数很多重要性质. 那么,闭区间的内在特征是什么呢?如果仔细研究一下闭区间套定理,你会发现,无论我们在闭区间中取什么样的点列,总能从该点列中找到收敛的子列,且其极限还在该区间中. 这一重要特征被人们广为推广并应用到现代数学的众多领域中,这就是许多现代数学分支中经常使用的列紧性和紧性概念。
  总之,只要我们寻找适当的方式,掌握合适的分寸,非数学专业的学生同样可以掌握微积分的重要思想。


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