上回说到如何通过叶果洛夫得到鲁津定理，这两个定理是可测函数这一章中最重要的定理，而且叶果洛夫定理无论是其定理本身还是其证明的思想方法都贯穿了Lebesgue积分理论的始终，而鲁津定理则是沟通可测函数与连续函数的桥梁。

鲁津定理的表现形式有很多种，前文是这样阐述的：“任何有限测度集上几乎处处有限的可测函数都可以在挖掉一个测度充分小的子集之后成为剩下子集上的连续函数。”这个定理可以称为鲁津定理的第一种形式。这个定理让人感到不方便之处有两点，一是定理中的连续函数是一般可测集上的连续函数，这与微积分中所指的连续函数完全不同，仍然让人感到有点难以捉摸；二是定理的表现形式与所谓的逼近有点差别，我们通常所指的逼近是指用某个函数序列去逼近一个特定的函数，而这里是说可测函数在一个子集上与连续函数一样，初学者可能觉得与逼近是两回事。

先来说第一个问题，鲁津定理中那个子集上的连续函数可不可以是通常意义下的连续函数呢？换句话说，我们可不可以找到定义在全空间上的连续函数，使得在某个子集上与给定的可测函数相等？这就是鲁津定理的第二形式，不过是针对一维情形说的：

定理： 设 E是中的有界可测集，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意ε>0，存在E的闭子集F及上连续函数g(x)，使

（i），即任意x∈F，有f(x)=g(x)；

（ii）m(E-F)<ε。

此外，若|f(x)|<M（任意x∈E），则还可以要求|g(x)|<M，（任意x∈）。

这个定理看起来舒服多了，其中的g(x)正是微积分中大家早已习惯的连续函数。该定理的证明有一定的技巧，这里就不介绍了，对于非数学专业的人来说，知道这个结果就足够了。

我们也可以将上述定理改述成：若f(x)是E上的可测函数，则对任意ε>0，存在R^1上的连续函数，使得mE{x|f(x)≠g(x)}<ε。这个集合只是个定性的描述，需要将其定量化，看过前面几篇博文的人不难理解下面的等式：

E{x|f(x)≠g(x)}=E{x||f(x)-g(x)|>1/n}

所以对任意n，有，进一步，对任意δ>0，有m[E{x||f(x)-g(x)|>δ}]<ε，取一列单调收敛到0的正数序列ε_n，则存在上的连续函数g_n，使得

瞧，是不是与你通常理解的逼近很相似了？你对这种逼近大概比较陌生吧？不过如果你有敏锐的数学直觉，又学过概率论，你会有似曾相识的感觉，在实变函数里，人们叫它测度收敛，也叫概收敛，一般地可以这样定义：

定义： 设E是可测集，f(x)，f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)，…都是E上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意ε>0，都有

lim E{x||f_n(x)-f(x)|>ε}=0

则称f_n(x)在E上依测度收敛到f(x)，记作 。

在你没有学习抽象测度之前，你可能很难把这种收敛性与概率联系起来，这里只简单地告诉你什么叫抽象测度。假设R是非空集合S的一簇非空子集簇，如果R中的元素对于集合的有限或可数交、并、差运算封闭，则称R是S的子集构成的环。你若觉得深奥，不妨把S理解成实数集R^1，把R理解成R^1的子集构成的簇。μ是R上满足如下条件的函数：

1、（非负性）对任意E∈R，μ(E)≧0；

2、（单调性）对任意E、F∈R，若F是E的子集，则

μ(F)≦μ(E)；

3、（可数可加性）设E_n是R中一列互不相交的序列，则

μ(∪_nE_n)=∑_nμ(E_n)。

则称μ是R上的测度。

从上述定义可以看出，所谓抽象测度不过是将Lebesgue测度的基本特征提取出来作为公理罢了，这里只是个粗略的直观描述，里面有很多问题不是三言两语可以说清楚的，想详细了解抽象测度需要阅读专门的书籍。

众所周知，柯尔莫哥洛夫利用抽象测度奠定了现代概率论的理论基础，使得这一出身“低贱”的学问终于登堂入室，成为数学的一个重要分支。你能发现概率论与抽象测度之间的关系吗？你能说清楚这里的依测度收敛与概率论里的某种收敛性之间的关系吗？你能从概率的角度对此做出解释吗？这对于需要概率的人而言是件很重要的事情。

我们对一致收敛、处处收敛、几乎处处收敛已经耳熟能详了，而且这些收敛概念均是通过传统的分析方法来定义的，作为一种新的收敛概念，依测度收敛与上述各种收敛概念之间是什么关系？假如你对叶果洛夫定理融会贯通了，你会很容易猜到一种关系。考考你的数学直觉：通过叶果洛夫定理你能看出几种收敛概念之间的什么关系？