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说课(5)(Lebesgue测度)--实变函数 精选

已有 16615 次阅读 2011-3-29 11:44 |个人分类:教育点滴|系统分类:教学心得|关键词:office,集合论,时间| 时间, office, 集合论

作为实变函数的准备知识,集合论的讲授不需要占用太多时间,毕竟不是专门讲集合论,测度论才是“实变函数”的真正开始。

测度概念可以追溯到面积问题,可见其源远流长。而面积概念的最早推广是关于集合的“容量”,研究“容量”的代表性人物包括Peano(皮亚诺)、Jordon(若当)以及Borel(博雷尔),然而,Lebesgue(勒贝革)测度的横空出世取代了十九世纪几乎所有的工作,其中也包括他的导师Borel的工作,可见Lebesgue之伟大。不过Lebesgue测度并非测度论的终极,事实上,如果没有更一般意义上的抽象测度(也称公理化测度),你就很难把概率论与测度论相联系,概率论也就难以在数学上找到他强大的理论基础,恐怕只能因为其出身问题而成为“地富反坏右”令数学家们“不屑”。

一些老师习惯于从概念到概念,常常并不注意概念的来龙去脉的阐述以及如何启发学生学会探索从而建立一个新的概念。测度作为区间“长度”、区域“面积”、立体“体积”概念的推广,当然不能脱离了这些原型去讲,否则学生只能知其然,却不知其所以然,学生学到的也只是具体的知识,而非发现与创造能力。鉴于在课程的引言中老师已经交代清楚了为什么要定义一般集合的“长度”,所以老师在测度这一章节无需在这个问题上过多纠缠,重点应讲清楚这样几件事:

1、如何“合理”地定义“测度”?

2、你所定义的测度与她的原型(“长度”、“面积”等)是什么关系?她与“长度”、“面积”等概念是否有着类似的性质?

3、集合的测度相对于集合的运算是否封闭?

4、可测集的相貌如何(具有什么样的结构)?

不愿意动脑筋的老师也许一开始就把外侧度的定义写出来而不管学生是否感到突兀,你如果不能诱导学生去思考如何恰当地给一般集合的测度下定义,学生只能记住抽象的概念,这对于学生来说没有太大的意义,也许用不了多久,学生就把学的概念全还给你了。要讲清楚测度的概念,离不开Riemann积分的思想,想想Riemann定积分是怎么进行的,那里是将函数的定义域作分割,然后分别用若干小矩形从外面包住曲边梯形,同时用另一些小的矩形从里面尽量填满曲边梯形,随着分割的加细,如果内外小矩形面积之和趋于同一个值,就把这个极限称为对应函数的定积分(曲边梯形的面积)。这种想法能否推广到一般的集合?用“矩形”从外面包住一个集合并不难,难的是集合的“内部”未必包含任何“矩形”,例如,你不可能从有理数集合里找到任何区间。由此可见,我们第一步只能考虑从外部逼近,即用一些小“矩形”(也叫“长方体”)(这些矩形的并)包住一个给定的集合,从技术层面上讲,用一些“开矩形”更方便一些(联想一下开覆盖原理就明白了),能包住一个给定集合的小“矩形”(之并)很多,所以合理地“测量”一个给定集合E的方式是:

这就是“外测度”的定义。

接下来的问题自然是对这个概念的剖析,老师必须引导学生搞清楚两件事:(1)如果E是一个区间或矩形,其外侧度与长度或面积是什么关系?(2)外侧度是否具有与“长度”、“面积”有着类似的性质,由此自然挖掘出来外侧度的几个基本性质,这些性质也是将来定义抽象测度的几个公理。分析的过程中将会发现外侧度并不具有“面积”的所有特征,特别是可加性不再成立。这里有一个难点,即如何构造不具有可加性的集合。众所周知,数学上的每个重要反例都是智慧的结晶,反映出构造者非凡的创造力,而追寻构造者的思路远远不像追寻一个大定理的证明那样轻松,因为这些反例的视角往往出人意料,不可测集就是这样的一个典型例子。虽然不介绍它未必会对测度理论的体系构成影响,但作为数学欣赏,老师不妨详作介绍,这个例子既含分类的思想,又运用了选择公理,不介绍有点可惜。

可加性的失败让我们想到了什么?毫无疑问,我们会思考:是外侧度的定义方式导致了不可加性的丧失还是别的什么原因?从反例的构造将会发现,无论你怎样定义外侧度,只要这些外侧度满足“面积”的几个基本特征:(1)非负性(2)单调性(3)次可加性,都会出现可加性的丧失。这就是说,我们碰到了无法逾越的障碍,唯一的办法是把那些不满足可加性的集合剔除,“可测集”的概念出现了。想法没有错,但具体实施远不是一件简单的事,给定一个集合,如何判断它可测还是不可测?这又是个难点。一些老师也许习惯于直接给出定义,这不是个好办法,聪明的学生会问你:“为什么这么定义?”当然,如今的学生大概不是很愿意问问题,从某种意义上说,现在的老师比较好当,想当年,俺把俺的老师都问得不敢见我了。具体如何诱导出可测集的定义在本人的教材中已作介绍,限于篇幅,这里就不说了。

34两个问题是很自然的,相信任何有点经验的老师都知道怎么讲授。

通观测度论章节,难点主要集中在前面阐述的几个概念上,即如何引导学生发现外侧度?如何发现不可测集的存在以及如何合理地定义可测集?至于可测集的性质与结构则是合乎“正常思维习惯”的问题,就好比人们对一般连续函数的模样并不了解,于是总想用熟悉的函数(初等函数)去描述他们(逼近),清楚了这个思想,如何了解可测集的结构就不是一件难事了。



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