很多人对实变函数似乎不感冒，其实它对于非数学专业人士同样是重要的，如果你不懂实变函数，你就不可能真正精通傅里叶分析。而你想弄通实变函数，没有任何一本教材有我的博文通俗易懂。

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    我一般在新课程的最初几个星期里教学的进程会比较慢，特别是“实变函数”课程对大多数学生来说入门是比较困难的，欲速则不达，只能采用适当的加速度展开教学。今天正好讲到欧氏空间中的点集，正如说课（3）中所说，这部分有几个重要的定理在数学上有着很重要的地位，学生应该深刻领会并懂得如何运用。

     今天讲到了有限覆盖原理，这个原理我在《抽象的数学思想与方法也可以直观表达》（博文链接：

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=40247&do=blog&id=223611）一文中对其已经有所阐述，这里不再重复。不过那里只是介绍了这一原理的科学意义及其证明的思想方法，老师在时间许可的情况下应该介绍一下它的应用。

    有限覆盖定理：设F是R^n中的有界闭集，G=｛Gλ|λ∈Λ｝是一簇开集,∪λ∈ΛGλ包含F,则一定存在G中有限个开集Gλi，i=1，…，n，使得∪Gλi包含了F。

    有限覆盖原理的真正价值是把数学问题“化整为零”做局部化处理，我们可以通过几个常见的处理方法来阐述它的应用。一个例子是微积分中闭区间上连续函数性质的证明，例如“闭区间上的连续函数一定是一致连续的”就可以利用有限覆盖原理来证明。微积分中是通过将区域进行剖分来证明的，但对区间剖分的方法很难推广到欧氏空间中一般的有界闭集，有限覆盖原理则适用于更一般的情形。对微积分有所了解的人应该知道如何证明上述命题。

    学生仅仅知道有限覆盖原理是不够的，因为有限覆盖只完成了从整体到局部的过程，最终还得还原为整体的问题。举例来说，在解变系数的微分方程时，有一种方法叫冻结系数法，假设初值问题的齐次常微分方程为：

an(t)x(n)(t)+…+a1(t)x’(t)+a0(t)=0

x(t0)=x0

如何求出方程的解呢？学过常微分方程的人都知道如何解常系数微分方程，高阶变系数方程就没有通用的行之有效的办法了，但我们可以局部地使用常系数微分方程的求解方法。假设系数ai(t)是t的连续函数，则在任意一点t1附近，ai(t)与ai(t1)接近（可以给定一个误差限，即使不连续也可以通过积分逼近，不过不适合在现阶段介绍），因此在t1附近可以近似地以ai(t1)代替ai(t)，从而得到了一个常系数的微分方程：

an(t1)x(n)(t)+…+a1(t1)x’(t)+a0(t1)=0

    对上述方程我们是可以利用特征方程法求解的。这个过程可以针对每个t来做（在进行数值计算时，可以给定相应的步长）从而求出方程的局部近似解。然而至此只完成了求解过程的一半，还有关键的一步：如何把局部解粘合成整体近似解。如果时间允许，教师可以简单地介绍一下数学上的一个常用方法--单位分解。我觉得，这一方法即使对于非数学专业的学生也是需要的，因为“化整为零”、“粘零为整”是数学及许多自然科学中解决问题的常用方法，可惜的是，即使是本科数学专业的学生，在大学四年中大多不会涉及这些内容。不过不必详细讲解，阐述清楚其思想足够，因为学生一旦了解了这一思想，在日后需要用的时候，可以自己去重新学习。

    所谓单位分解并不难理解，难的是如何构造这种分解。假设U1，…Un是n个开集，Ki是包含在Ui中的紧集（对有限维空间来说，即有界闭集），则存在n个光滑函数（无穷次可微函数）fi满足：

（1） 0≦fi≦1;

（2） {x|fi(x)≠0}包含在Ui中，且fi|Ki=1;

（3） f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=1。

称{fi}为对应于{Ui}的单位分解。从单位分解的定义不难看出它为什么叫单位分解，如果{hi}是n个函数，函数f=h1f1+h2f2+…+hnfn具有什么特征？仔细分析一下便可以发现单位分解的妙用之处，将它与有限覆盖原理结合起来正可谓珠联璧合。如果是对非数学专业的学生讲授，最好进一步介绍一下通常如何构造那些fi，这对他们无疑是实用的。