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说课(4)(再论有限覆盖)--实变函数 精选

已有 10712 次阅读 2011-3-22 21:36 |个人分类:教育点滴|系统分类:教学心得

    很多人对实变函数似乎不感冒,其实它对于非数学专业人士同样是重要的,如果你不懂实变函数,你就不可能真正精通傅里叶分析。而你想弄通实变函数,没有任何一本教材有我的博文通俗易懂。

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    我一般在新课程的最初几个星期里教学的进程会比较慢,特别是“实变函数”课程对大多数学生来说入门是比较困难的,欲速则不达,只能采用适当的加速度展开教学。今天正好讲到欧氏空间中的点集,正如说课(3)中所说,这部分有几个重要的定理在数学上有着很重要的地位,学生应该深刻领会并懂得如何运用。

     今天讲到了有限覆盖原理,这个原理我在《抽象的数学思想与方法也可以直观表达》(博文链接:

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=40247&do=blog&id=223611)一文中对其已经有所阐述,这里不再重复。不过那里只是介绍了这一原理的科学意义及其证明的思想方法,老师在时间许可的情况下应该介绍一下它的应用。

    有限覆盖定理:FR^n中的有界闭集,G=Gλ|λ∈Λ}是一簇开集,∪λ∈ΛGλ包含F,则一定存在G中有限个开集Gλii=1,…,n,使得∪Gλi包含了F

    有限覆盖原理的真正价值是把数学问题“化整为零”做局部化处理,我们可以通过几个常见的处理方法来阐述它的应用。一个例子是微积分中闭区间上连续函数性质的证明,例如“闭区间上的连续函数一定是一致连续的”就可以利用有限覆盖原理来证明。微积分中是通过将区域进行剖分来证明的,但对区间剖分的方法很难推广到欧氏空间中一般的有界闭集,有限覆盖原理则适用于更一般的情形。对微积分有所了解的人应该知道如何证明上述命题。

    学生仅仅知道有限覆盖原理是不够的,因为有限覆盖只完成了从整体到局部的过程,最终还得还原为整体的问题。举例来说,在解变系数的微分方程时,有一种方法叫冻结系数法,假设初值问题的齐次常微分方程为:

an(t)x(n)(t)+…+a1(t)x’(t)+a0(t)=0

x(t0)=x0

如何求出方程的解呢?学过常微分方程的人都知道如何解常系数微分方程,高阶变系数方程就没有通用的行之有效的办法了,但我们可以局部地使用常系数微分方程的求解方法。假设系数ai(t)t的连续函数,则在任意一点t1附近,ai(t)ai(t1)接近(可以给定一个误差限,即使不连续也可以通过积分逼近,不过不适合在现阶段介绍),因此在t1附近可以近似地以ai(t1)代替ai(t),从而得到了一个常系数的微分方程:

an(t1)x(n)(t)+…+a1(t1)x’(t)+a0(t1)=0

    对上述方程我们是可以利用特征方程法求解的。这个过程可以针对每个t来做(在进行数值计算时,可以给定相应的步长)从而求出方程的局部近似解。然而至此只完成了求解过程的一半,还有关键的一步:如何把局部解粘合成整体近似解。如果时间允许,教师可以简单地介绍一下数学上的一个常用方法--单位分解。我觉得,这一方法即使对于非数学专业的学生也是需要的,因为“化整为零”、“粘零为整”是数学及许多自然科学中解决问题的常用方法,可惜的是,即使是本科数学专业的学生,在大学四年中大多不会涉及这些内容。不过不必详细讲解,阐述清楚其思想足够,因为学生一旦了解了这一思想,在日后需要用的时候,可以自己去重新学习。

    所谓单位分解并不难理解,难的是如何构造这种分解。假设U1…Unn个开集,Ki是包含在Ui中的紧集(对有限维空间来说,即有界闭集),则存在n个光滑函数(无穷次可微函数)fi满足:

(1) 0fi≦1;

(2) {x|fi(x)≠0}包含在Ui中,且fi|Ki=1;

(3) f1(x)+f2(x)+…+fn(x)=1。

{fi}为对应于{Ui}的单位分解。从单位分解的定义不难看出它为什么叫单位分解,如果{hi}n个函数,函数f=h1f1+h2f2+…+hnfn具有什么特征?仔细分析一下便可以发现单位分解的妙用之处,将它与有限覆盖原理结合起来正可谓珠联璧合。如果是对非数学专业的学生讲授,最好进一步介绍一下通常如何构造那些fi,这对他们无疑是实用的。



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