域的概念对学生来说并不陌生，“抽象代数”课程中早讲过了，什么有理数域、实数域等名词也随处可见，可如果细纠起来，问一声问什么，有多少学生能回答？又有多少老师能说清楚？

    代数通常不管具体的对象，人为地在一个给定的集合中定义某种运算并规定这种运算满足某种规则，就像游戏一样，集合的元素之间不能“胡搞”，这些规则也大多从数的运算法则类比过来，满足这些规则，就给这个带运算的集合取个特殊的名字，群、环、域等概念便由此而来。这里不是讲抽象代数，所以不打算花时间在如何讲授这些概念上纠缠。

    由于实变函数课程中集合间运算属于家常便饭，什么笛摩根法则、集合序列的极限等都与集合的运算有关，这里不仅涉及有限个集合的运算，还涉及无限多个集合的运算，这些集合经过了无限次的运算后变成了什么？还是我们认识的那个集合么？这是进一步研究相关问题之前必须搞清楚的问题，通俗地说，你对这些集合进行了某种运算之后，如果变成了你不再“熟悉”的东西，你会像古希腊人遇到根号2一样以为遇到了魔鬼。实变函数的基本研究对象是可测函数，而可测函数是建立在集合的可测性基础之上的，换句话说，是通过与函数有关的集合的可测性来定义可测函数的。两个可测函数经过了四则运算后还可测否？这个问题需要转换为相应的集合的可测性来讨论，而这些集合正是若干个甚至无穷多个可测集经过了交、并、差运算后得来的，显而易见，如果这些经过运算之后的集合不再可测了，经过四则运算后的函数自然就不可测了，这就是说，如果可测集经过集合的运算后不再可测，那么就不能对函数做四则运算，这可糟糕了，基本问题都无法解决，还如何把研究进行下去？这正是在讨论函数的可测性及相关性质之前首先要讨论可测集的性质之原因所在。最理想的结果是可测集不会因为集合的运算而变得不再可测，简单地说，可测集关于集合的运算是“封闭”的，这就是所谓的域与σ-域。讲清楚这个概念的来龙去脉，学生对域与σ-域就不再感到神秘了。至于如何科学、合理地定义这些概念就是个细节问题了，相信稍有经验的老师都能做好。

    集合论中最抽象的一个概念也许是“势”（或“基数”），简而言之就是一个集合含多少个元素，你可能会哑然失笑，这就算抽象？谁不会数数？那你能回答几个问题吗？自然数集合与有理数集合之间谁含的元素更多？有理数集合与实数集合之间谁含的元素更多？如果你初通集合论，这两个问题对你显然是小儿科，如果你的集合论知识仅限于中学及微积分中的那些关于集合的简单概念与运算，估计你在这两个问题上会犯常识性的错误，学生亦然。如果你回答：“实数集合比有理数集合所含元素更多”，我会学王小丫：“恭喜你，答对了”，如果你回答：“有理数集合比自然数集合所含元素更多”，我会很沮丧地告诉你：“很不幸，你犯了个低级错误”。接着，我会问你：“你根据什么判断有理数比自然数多？又是根据什么判断实数比有理数多？”估计你会回答：“因为有理数中除了自然数，还有分数、负整数等，实数集合中除了有理数还有无理数”，相信你会回答得理直气壮，虽然你想当然的回答得了50分，可那纯属运气，碰巧答对了一半。也许你不服我给你的评分，甚至还想举报我，说我对你有成见，胡乱评分，稍安勿躁，且听我慢慢道来。

    我们是怎么计算有限集合中所含元素的多少的？一个一个数就行了，可如果你不识数呢？举个例子，请你想个办法判断两个班级中哪个班人数更多，但不许数人头，因为假定了你是不识数的，你有办法吗？如果你当初在中学学习集合间的映射时真的理解了映射的本质，估计你不难回答：“两个班级一次各出一个同学，看最后哪个班还剩下同学，这个班人数就多一些”，善哉，有慧根。再来回顾我们是如何数数的，我们在数一个班有多少人时并不注意谁是谁，而是默念1、2、3、4…，这意味着什么？我们无意中将班级中的人与自然数一个一个对应了起来，用抽象的数代替了具体的人，可见抽象的“数”是多么的伟大。把这些方法归纳起来，我们可以这么说，如果在两个集合之间能够建立一个一一对应关系，那我们就可以说，这两个集合含一样多的元素。可能还有人似懂非懂，慷慨激昂地反驳我：“我说自然数比有理数少也没错啊，我将自然数集中的“1”对应到有理数集中的的“1”，“2”对应到“2”，如此类推，最后还有有理数中的分数、负整数在自然数集中找不到对应啊？”听起来很有道理，可如果我问你：“你做的只是一种对应关系，你怎知除了你说的这种对应方法就没有别的对应方法？又怎么知道没有一种对应方法能够将自然数对遍有理数中所有元素？”这下哑口无言了吧？那就继续听我剖析你的错误吧。

    我们之所以想当然地认为有理数比自然数多，其根源在于我们的思维依然局限在对有限数的认识上，是对有限数认知的惯性导致了我们犯了上述错误，事实上，对两个有限集来说，无论你怎么造一对一的对应关系，只要不能把两个集合中的元素取遍，他们的元素就一定不一样多，反之亦然。无限集依然如此吗？我们来看一看两个简单的无限集：“正整数”集合与“正偶数”集合，看起来似乎前者比后者所含的元素多，但不能想当然，我们除了想当然的对应关系之外，还可以这样来构造对应关系：

1→2, 2→4，…，k→2k，…。

不难看出，任何正偶数都可以在正整数集合中找到一个“原像”，任何正整数也都对应到一个正偶数，显然这是个一一对应，如何？你还认为两者的元素不一样多吗？

    有了上述分析，“势”的概念该如何定义就无需详细赘述了。在讲清楚“势”的概念之后，老师有必要进一步向学生讲清楚有限集的“数”与无限集的“势”之异同，即把有限集与无限集的本质特征挖掘出来。

    对“势”的概念理解上应该不会有太大困难，但“势”之复杂远非“数”可比拟，有些问题迄今悬而未决，老师可以乘势拓展一下，介绍一下相关的历史与未解决问题，如在讲授伯恩斯坦定理时顺便说一说“势”的比较问题。