整完了材料，中间休息，写点文字。加个副标题，以示与“微积分”说课系列的区别。

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    这学期给本科生讲授“实变函数”课，这是数学专业本科阶段老师觉得不太好讲、学生觉得不太好学的课程，在川大教了8轮“实变函数”，在广大只教了3轮，主要原因是前几年为了写微积分教材去教微积分课程了。我觉得要写好一部教材，不反复实践肯定是不行的，这不，《高等数学》刚开始试用就有人提出质疑了，说没有制作课件，也没有习题解答。有课件固然好，备课省事，但这与教材是两回事，至于习题解答，与我们写《实变函数与泛函分析》一样是故意不做的，我们认为这些应该留给学生自己做，也许再版中会考虑给个参考答案。

    实变函数可能是所有本科数学课程中介绍集合论最为详细的课程，别的课程大多只介绍一些简单的概念，实变函数则用了相当的篇幅来介绍集合论的基本内容，在详细介绍集合论之前，讲授者有必要对集合论的前世今生做一个简单的介绍，因为集合论虽然成了现代数学的基石，但存在的问题迄今并未得到很好的解决。换句话说，现代数学建立在一个十分不完善的理论基础之上，作为数学专业的学生对此应有所了解。

    对大学生而言，集合论中出现的第一个陌生概念是集合序列的极限，有两个问题常常是教师没有交代清楚的：

1、为什么要定义集合序列的极限？

2、为什么要如此这般定义集合序列的极限？

    要说清楚第一个问题，教师自己需要清楚实变函数的思维特征以及学习实变函数的关键是什么？从可测函数的定义可以看出（此时当然不必详细介绍可测函数，但在课程的引言中应该已经讲过Lebesgue积分的基本思想，学生对可测函数概念的理解没有任何困难），我们常常是把函数的某种性质用集合的语言表达出来，有时也需要反过来做。而分析学的灵魂则是极限，如何将函数序列的极限概念转换为集合的语言显然是个需要考虑的问题，于是集合序列的极限概念应运而生。事实上，在后续的各个部分，这种集合论语言与函数论语言的相互转换乃家常便饭。例如，如何把一个函数序列的极限不存在的点表示出来？学生如果能搞清楚这个问题，那么实变函数中的一些重要定理的证明就不是一件令人望而生畏的事情了。

    第二个问题的讲解涉及如何定义集合序列的极限，大多数教材中是直接给出一个描述性定义：集合序列An的上极限集为A={x|x在无穷多个An中}，下极限集为B={x|只有有限个An不含x}，如果A=B，则称序列{An}的极限存在。这个定义的好处在于学习者对上极限集与下极限集一目了然。问题在于，为什么要这么定义？它与函数序列极限之间似乎没有相似之处，没有任何蛛丝马迹可循，直到老师证明了一个与之等价的定义并将之与函数序列的极限做类比之后，学生才似有所悟。我们则换了一种做法，首先回顾函数序列上下极限的定义，其关键之处在于寻找到函数序列上下确界的类似物，这就需要我们首先找出集合论中与大小关系类似的东西，不必老师指出来，学生很容易回答：是集合的包含关系（这又为后面讲述偏序关系以及超穷归纳法埋下了伏笔）。按照集合的包含关系，所谓集合序列的“最小上界”是什么呢？是包含所有An的集合中最小的那个集合，显而易见，这个集合就是所有An的并集。类似找出集合序列的“最大下界”，有了这些类似物，集合的上极限、下极限定义问题就水到渠成迎刃而解了。学生对这个定义不会产生任何理解上的困难，更不会感到概念的突兀，但这到底是个什么样的集合则需要进一步考察，换句话说，老师需要引导学生去发现两个定义之间的内在关系。与描述性的定义相比，这个定义更自然，也更适合学生的思维习惯。