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测度之伟大(II)--积分与极限何时能交换顺序? 精选

已有 39389 次阅读 2009-5-25 16:41 |个人分类:教育点滴|系统分类:科普集锦

我在前一篇博文《测度之伟大(I)--如何由几乎处处收敛做到一致收敛?》中谈到了如何由几乎处处收敛(或者处处收敛)得到一致收敛,收敛的方式决定了极限函数的性质,叶果洛夫(Egoroff)定理的伟大之处在于通过它可以将一个几乎处处收敛函数序列的定义域做适当修改从而使得该序列一致收敛,于是与之相关的问题迎刃而解,因为在一致收敛条件下诸如连续性、可积性等问题是显而易见的。但它与最终解决积分与极限的交换顺序问题尚有一段距离。回顾一下前篇文章中的两个例子:

1 fn(x)=xn, x(0,1)

fn(x)在(01)上处处收敛到0,但不一致收敛到0

      2gn(x)=(n+1)xn,  x(0,1)

gn(x) 同样在(01)上处处收敛到0,但不一致收敛到0

然而这两个函数列有很大不同,分别对两者做积分我们看到:

01fnxdx=1/(n+1)0=(0,1)0dx

01gnxdx=10

这就是说,尽管我们将(01)区间挖掉一个长度充分小的区间(δ1)后,fn(x) gn(x)在(0δ)上都一致收敛到0,但前者积分与极限可以交换顺序,后者则不然。原因何在?

为了寻找到发生障碍的原因,还是从一致收敛的函数列说起,假设fn(x) f(x)是定义在[ab](开区间也可,但要保证可积性,那样将涉及到暇积分)上的连续函数序列(假定连续是为了避免讨论可积性),且fn(x)[ab]上一致收敛到f(x),我们知道此时积分与极限是可以交换顺序的,一致收敛性条件很强,多数情况下做不到,那么从一致收敛性条件我们还可以得到关于函数序列的什么特征呢?或许这些特征能告诉我们一些本质的东西,由一致收敛定义知对任意>0 ,存在M>0,当m>M 时,对一切x[ab],有|fm(x)-f(x)|<,从而 |fm(x)|<+|f(x)|。显然+|f(x)|[ab]上可积,所以{fm} 实际上由一个可积函数控制住了。这个性质是不是本质的?我们回过头来看看前面的两个例子,尽管fn(x)在(01)上不是一致收敛到0的,但在(0,1)|fn(x)|<1,我们能找到(01)上的可积函数控制住gnx)吗?显然做不到!也就是说,如果一个函数序列不能“整体”上被控制,积分与极限就可能是不可交换顺序的,因此要保证交换性,函数序列至少应该可以被控制。问题是,如果能被控制的话,积分与极限是否就一定可以交换顺序呢?如果答案是肯定的,我们的问题就获得完满解决了。

这里需要我们学会一点逻辑思考!既然我们可以在“很大”的范围内能做到一致收敛,而一致收敛的情况下积分与极限是可以交换顺序的,那么问题的关键就在于当区间长度很小时,函数序列的积分会发生什么变化。要搞清楚这个问题,我们很自然地会想到另一个问题:如果一个函数序列整体上能被一个可积函数控制住,那么在长度很小的范围内会发生什么事?或者说得更具体一点,随着区间长度的减小,积分会如何变化?

你想到了什么?

假设f(x)[ab]上的可积函数,如果区间长度b-a越来越小,积分[a,b]f(x)dx会怎样变化?哈哈,你若是再没反应,说明你微积分真的学得有问题了。假如你能回答:“积分也越来越小”说明你聪明,知道积分是具有“绝对连续性”的。如此问题就好办了,既然|fn(x)|<F(x),那么就有[ab] |fn(x)|dx≤∫[ab] F(x)dx,这意味着尽管函数序列未必一致收敛,但函数序列只要能被一个可积函数控制,积分将随着区间的长度趋于0而一致地趋于0(即与下标n无关)。进而积分与极限交换顺序的问题就可望得到解决,这就是实变函数里赫赫有名的Lebesgue控制收敛定理。当然,如果在Lebesgue积分意义下讨论问题,还需要弄清楚Lebesgue积分是否具有绝对连续性,幸运的是,答案是肯定的。这就是下面的

    定理(积分的绝对连续性)若 f(x)在E上可积,则对任意>0 ,总存在>0 ,使得 ,且mA< 时,

            

    有了Egoroff定理与积分的绝对连续性,控制收敛定理的证明就不在话下了。

    定理Lebesgue控制收敛定理)设 fnE上的可测函数列,F是fn的控制函数,即 |fn(x)|F(x) a.e.,且FE上可积,如果 fn在E上几乎处处收敛到f,则fE上是可积的,并且

            

Lebesgue真伟大!



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发表评论 评论 (14 个评论)

IP: 219.147.22.*   | 赞 +1 [14]刘辉   2009-6-8 22:17
曹老师,您好,我有一个级数方面的疑问,似懂不懂,盼赐教:
令s=1+2+4+...
则2s=2+4+...=(1+2+4+...)-1=s-1
所以s=-1

又令s=1+1/2+1/4+....
则2s=2+1+1/2+1/4+...=2+s
所以s=2
上述花招为何有的对有的不对?书中的说法是看级数是否绝对收敛。
<陶哲轩实分析>第一章中的实例就有这个例子,不过只在书店翻了翻,没在后续章节中找到答案,书太贵,穷学生一个,就没买。曹老师能否讲讲上述情况?为何只有绝对收敛的级数才能这么做?
博主回复:第一个的毛病出在由2s=2+4+...=(1+2+4+...)-1=s-1
推出s=-1,此时由于级数是发散到无穷大的,s等于无穷大,不能通过将s移项的方式解出s。第二个级数是收敛的,当然可以这么做。这里都是正项级数,没有什么绝对收敛一说。
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [13]张偲   2009-5-28 10:59
我是作为一个学生在请教老师的,我的数学水平还达不到跟老师您“讨论”的程度。曹老师节日快乐:)

博主回复:呵呵,讨论问题与所谓的“水平”没关系,有时候即使是一个外行也可能会在某个问题上产生思想的火花。祝节日快乐:)
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [12]张偲   2009-5-28 10:43
期待曹老师的下一篇数学课
博主回复:尽量:)
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [11]张偲   2009-5-28 10:26
非常感谢曹老师再次耐心答疑:)
博主回复:呵呵,我喜欢与爱平心静气的讨论问题的人讨论问题。
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [10]张偲   2009-5-28 09:13
现在处于似懂非懂状态了

严士健老师那本书上写的是 g,h可积,g<=fn<=h,可以保证积分fn收敛到f的积分。

我最开始是把您这里的F直接看成f的积分了,所以想半天没想明白。
博主回复:用g,h两边控制与用一个函数控制函数序列的绝对值本质上是一样的。
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [9]张偲   2009-5-28 09:02
谢谢曹老师,看来是我一直理解错了。那个F的出现我觉得有点唐突,之前看到这里的时候一直理解为是f,用f控制了序列fn,然后fn就可以交换积分和极限。

F是个什么具体生成步骤呢?对这个迷惑了。感觉F像从天上掉下来的一样
博主回复:F怎么找就要因具体的函数序列来定了,例如本文中的第一个例子,F=1就是个控制函数,很多情况下,寻找控制函数是关键,也是难点所在。
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [8]张偲   2009-5-27 17:57
可能是我对F和f的理解错了。我一直以为控制函数就是f,我对F的出现现在也没想清楚
博主回复:f未必能控制函数序列。
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [7]张偲   2009-5-27 17:55
lebesgue定理中最后一点“则f在E上是可积的”为什么不是fn在E上可积?f的可积性不是在条件中给出了么?
博主回复:条件中只给定了f_n与F可积,有了着两个条件可以保证极限f可积。
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [6]张偲   2009-5-27 17:36
曹老师,F(x)应该还是f(x),最后几行
从 “你想到了什么”下数三行开始

不知道是不是?
博主回复:是F不是f,这里F是控制函数序列,只要控制住函数序列,就能保证f也是可积的。
IP: 159.226.100.*   | 赞 +1 [5]邵伟文   2009-5-26 16:43
感觉“积分的绝对连续性”定理表述中有点录入问题,但是手头找不到书,不知道感觉对否?

博主回复:可以把绝对值放到积分号外面来,但这样也对.不知你指什么?对了,应该是A的测度小于\delta,谢谢,马上改!
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [4]张偲   2009-5-26 10:14
测度扩张定理、拉东-尼古丁分解定理、控敛定理、法都引理、Lp可和函数、条件数学期望是作为自学者的我感觉最困难的,还有就是广义测度的荷分解的时候,如果告诉初学者引入负值是因为对负电荷的模拟,就不会抠破脑袋想这种引入的合理性了——最开始的正部负部典型方法已经涉及到正负关系并能完全的处理了,在测度上加一个符号不就完了?为什么还要引入广义测度呢?这个费解了很久的。
我基本上是自学测度的,现在的专业是公共管理,学习测度纯粹的只是兴趣
博主回复:我讲的其实还只停留在实变函数需要的最简单测度,抽象测度还没开始呢,不过科学网上感兴趣的人似乎不多.只要有人愿意读就成,锻炼自己写科普的水平.我准备以测度为主线展开,介绍它和概率论、泛函分析、分形等学科的关系,但很费时间,说实话,我写科普的时间比写其他博文的时间长,单那符号的输入就很费时,遗憾的是“性价比”不高:)
IP: 121.194.98.*   | 赞 +1 [3]张偲   2009-5-26 10:03
曹老师写得真好。我现在的水平是能看懂朱成熹老师、程士宏老师、严士健老师的概率论和测度论的入门书。halmos那本测度讲义我看的是王建华老师翻译的版本。这四本书都看过了,所以能大概看明白这篇日志在说啥。叶果洛夫定理如果有图,把收敛和一致收敛的却别划出来,就更直观了。控敛定理之后应该讲单调收敛和法都引理了吧,我这三脚猫的水平看来法都引理是最精彩的,因为涉及到极限交换可积性的讨论了,这个是初等积分和实变积分的重大区别吧。

博主回复:控制函数是保证积分与极限交换顺序的充分条件,法杜引理也很重要,它通过函数序列的积分控制极限的积分,很多情况下有用,但他是对非负函数说的.
IP: 58.241.125.*   | 赞 +1 [2]dailiangren   2009-5-26 07:19
好,很好,非常好!^_^

热情期盼曹老师的全程录像。
博主回复:呵呵,恐怕要等一段时间了:)
IP: 221.219.98.*   | 赞 +1 [1]曹鹏   2009-5-25 20:39
的确,Lebesgue积分确实很有用,一个是回答了积分与极限的换序问题,博文中已经讲了;另一个就是扩大了积分类,为泛函分析考察的函数空间做了准备
博主回复:这正是我后续文章要讲到的!

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