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你懂测度吗（II）？
精选
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对公式不感冒者可以跳过公式，不影响了解文章的意思！
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既然外测度是长度概念的自然推广，那么当
时，应有
时，应有
，因为区间的长度是具有可加性的。可以证明如果对任意两个不交的集合A，B都有，则对任意有限个互不相交的点集E1,...,En，也有
进而对任意一列互不相交的点集E1,...,En,…，有
令n→
便知
便知 
。相反的不等式由外测度的性质3立得，所以
这就是说，只要外测度具有可加性，则它一定具有可数可加性。外测度具有可加性吗？如果有的话我们就太幸运了，直线上所有的点集就都可以度量了，且别高兴得太早，小心乐极生悲！
非常不幸的是，外测度并非对所有的集合都具有可加性。不过要找这样的例子需要相当的灵感！一般说来，正面的结论总还是能让我们寻找到一点如何发现的蛛丝马迹，因为它毕竟是通过逻辑推导得来的，但反例往往无痕迹可寻，常常就象脑筋急转弯一样令人意想不到，不可测集的构造正是这样。不过在寻找这样的集合之前，需要一个集合论中熟知的公理，称为策密罗选择公理。
这个公理看起来就象“平面内两点确定一条直线”那样平凡易于理解，但没有它很多问题的处理将无法进行，我直观地阐述一下这个公理的意思：假设我们要在全国范围内“选美”，先从各个省开始，每个省选出一个来，然后再到北京人民大会堂PK，注意关键在于“每个省选出一个，”选得出来么？显而易见可以选出来，明白了？那好，现在将此问题数学化，假设我们有“无穷多个省”，多到什么程度？“数不清”，什么叫数不清？就是你没法数，比如有与无理数一样多的“省”。你能保证选得出来么？有人说，这有什么不可以，挨个选不就行了？问题就出在什么叫“挨个”，这里是没法“排队”的，也就是没法“挨个”。所以这个公理并不平凡，尽管它不难理解！曾几何时，现代数学大厦的“地基”(集合论)出现了令人恐惧的“裂缝”，数学大厦大有摇摇欲坠之态，Hilbert企图挽救数学于危难，建议重建良好的数学基础，以Zermelo（策密罗）为首的一大批世界一流数学家响应Hilbert的号召，开始这项浩大的工程，然而，令人遗憾的是，良好的数学基础最终并未能真正建立起来，万般无奈之下，人们退而求其次，给集合论添加了一些公理，选择公理便是最具代表性的一个公理，在这些公理之下，已经发现的矛盾被避免了，但一些基本问题并未获得解决，Poincare对此做了个风趣的评价：“为了防备狼，羊群用篱笆围了起来，但不知道圈内有没有狼”。
这个公理与著名的曹恩引理是等价的，曹恩引理又称为超穷归纳法，我们知道通常的数学归纳法是处理与自然数集有关的命题的（也称为“三段论”），而超穷归纳法是处理以任意集合为指标集的命题的，通俗点说就是：“命题Sx与x有关，这里x属于某个给定的集合A，要证明命题Sx对所有x成立。”如果A是自然数集就是数学归纳法了。超穷归纳法之威力有如数学归纳法，只不过处理的问题更广泛。你还认为选择公理是平凡的吗？
如何寻找不具有可加性的例子呢？方法是代数化的，非常巧妙，巧妙到迄今为止没有人能想出第二种本质上不同的方法来，可见Lebesgue是多么的伟大（事实上，他的Lebesgue积分理论取代了包括他的导师Borel在内的所有前人的工作）。尽管是一个构造性的例子，但你很难像写一个区间一样清楚地将它写出来。正如尽管我们知道超越数与实数一样多，但除了e与π，再难写出第三个本质上与这两个数无关的超越数来！你如果觉得下面的构造看起来实在脑袋发胀，不妨跳过。
对任意，
（0，1），记
（0，1），记Rx={y|
（0，1），y-x是有理数}。
（0，1），y-x是有理数}。显然
，故Rx非空，而且对任意
(0,1)，如果
，则Rx=Ry。事实上，若
,则对任意
, a-x, b-x 均为有理数，a-y, c-y 也为有理数，于是b-y=b-a+a-y，c-x=c-a+a-x都为有理数，这说明
，由b,c的任意性知Rx=Ry（实际上Rx=Ry当且仅当y-x是有理数）。这样（0，1）可以分解成一些互不相交的Rx之并，对每个Rx，从中任取一点构成一个集合S，当然
。
，故Rx非空，而且对任意(0,1)，如果，则Rx=Ry。事实上，若 ,则对任意, a-x, b-x 均为有理数，a-y, c-y 也为有理数，于是b-y=b-a+a-y，c-x=c-a+a-x都为有理数，这说明，由b,c的任意性知Rx=Ry（实际上Rx=Ry当且仅当y-x是有理数）。这样（0，1）可以分解成一些互不相交的Rx之并，对每个Rx，从中任取一点构成一个集合S，当然。 记{rn}为（-1，1）中有理数全体，Sn=S+rn，即Sn是将S平移rn后得到的，显然
，而且当n不等于m时，Sn与Sm相互不交(想想如何证明？），于是我们得到了一列互不相交的集合。
，而且当n不等于m时，Sn与Sm相互不交(想想如何证明？），于是我们得到了一列互不相交的集合。
都含什么样的点呢？可以证明
（证明从略，有兴趣者不妨自证），这说明
。 如果外测度具有可加性，则
注意Sn是S经过平移后得到的，故m*Sn=m*S，于是由
的收敛性知m*S=0，然而这将导致1<0<3。这个矛盾说明外测度的确不具有可加性。
的收敛性知m*S=0，然而这将导致1<0<3。这个矛盾说明外测度的确不具有可加性。 问题出在哪里呢？是不是外测度的定义有缺陷？从上面的例子可以看到，整个的证明并未用到外测度的具体构造，这就是说，只要一种关于集合的函数（常称为集函数）具备性质1、2、3及可加性，就不可避免地会碰到上述矛盾。而性质1、2、3与可加性又是必须具备的条件。可见问题不在于外测度的定义方法有毛病，而是碰到了一种无法克服的困难。换句话说，总有一些集合，其测度是不具有可加性的，既然无法克服这个困难，最好的办法是把这些集合排除在外，只考虑那些具有可加性的集合。我们把前者称为不可测集，后者称为可测集。
问题又出现了：
什么样的集合是可测的？能否找到一个判别标准？
欲知详情，且看下回分解。
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