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数学之“芯”—不变量 精选

已有 9065 次阅读 2009-1-3 10:08 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

       新年的第一篇博文还是谈我的老本行—数学。
       如果你读懂了此文,那至少说明了两个问题:一是俺的科普水平高,二是你的悟性高。如果你读不懂,那只能说明一个问题:你的悟性太差。哈哈,别介意,其实还是俺的科普水平太差。
       很多人都说喜欢数学,可你是否真的了解数学?可知道数学的核心是什么?或者说数学的主旋律是什么?不知道吧?我告诉你吧,是“分类”。分类也是一些自然科学的主旋律,例如动物有多少种类?人分多少种?俗话说:“人以群分,物以类聚”讲的就是这个东东。问题是,怎样分类?数学是如此的复杂,即便对一些简单的数学对象要完成其分类也是异常的困难,能做到有限单群的分类那样精彩者数学上可谓凤毛麟角。要进行分类,首先要确定分类的标准,举个通俗的例子,如果我们要把人分成“好人”与“坏人”,那我们就要给出一些指标来,满足这些指标的就是“好人”,满足另外一些指标的就是“坏人”,因此,关键在于指标的确定,指标取得科学,分类就科学。男人与女人是最简单的分类,但雌与雄却未能尽分天下之人,如太监是男人还是女人就说不清楚。
        对数学对象进行分类有很多种指标,但我们应该清楚,空间中除了图形,常常还伴有变换,例如旋转、平移、升缩等,图形的某种特性在这些变换下会不会发生变化?一旦发生变化,变换后的图形就不是原来的图形了。不同的数学领域变换也很不相同,例如,代数里常用的是相似、正交等变换,拓扑里常用的是连续变换,微分几何里常用的是可微变换。要对某些数学对象实施分类,就要寻找在相应的变换下保持不变的指标,这个指标称为不变量(即在某种变换下保持不变的量)。
       也许很多人对不变量这个词很陌生,但我敢说只要你读过高中,学过立体几何,你至少见过一个不变量,这就是欧拉数2。如果你上过大学,学过线性代数、解析几何,你至少还见过一些不变量,只是老师可能没告诉你那是不变量,嘿嘿,没准老师自己都没意识到那是一种不变量。我们先来看看解析几何,解析几何主要研究二次曲线或二次曲面,除了退化的情形,二次曲面(曲线)分椭球面、抛物面、双曲面等,如何根据曲面方程判断它是什么样的曲面呢?相信大家都知道,根据二次项系数的符号来判断。我们还知道,二次曲面在旋转变换下的形状不会发生变化,换句话说,方程二次项系数的符号在坐标旋转变换下不会发生变化,瞧,不变量出来了。你知道二次项系数的符号叫什么吗?这就看你是不是熟悉线性代数了,如果你学过线性代数,你应该还记得线性代数中有个重要的东东—二次型,每个二次型都可以经过正交变换化成标准形,即只含平方项的二次型。二次型其实就是高维空间中的二次曲面,只是我们没法画出它们的图像,然而,通过它的标准形可以判断它是个什么样的“图形”。现在想起来了吗?是什么决定了它们的形状?是惯性指标(也叫惯性指数)!平方项中系数为正的个数称为正惯性指标,系数为负的个数称为负惯性指标,正惯性指标与负惯性指标之差称为惯性指标,可以证明惯性指标在正交变换下保持不变。如果你能用矩阵的方式写出三维空间中的坐标旋转公式,那你就不难发现,所谓坐标旋转实际上就是正交变换,由此可见,线性代数不过是N维空间中的几何。矩阵的若当标准型也是一种不变量,想想看,它在什么变换下保持不变?
       声称不变量是现代数学的主旋律并不为过,现代数学的几乎每个领域都有着自己的不变量,其理论之丰富与艰深,不是一般人可以想象的。神奇的是不同学科中所发现的不变量相互间有着不可思议的关系!我们来看一个最简单的例子(此处只是个直观的描述,叙述并不严密,例如解析函数的范围并没有加以限定,事实上,通常人们限定在某种度量下的解析函数构成的空间,如Hardy 空间、Bergman空间等):
        (阅读此段感到困难者可跳过)记T为复平面C内的单位圆周,即
  
              T={z∈C||z|=1},f(z)=znz∈T,n是某个整数,
   
如果用指数形式来表示,则z=eiθ,θ是幅角。假设n是正整数,想象一下,当θ从0变到2π时,zn绕圆周T走了几圈?它刚好沿逆时针方向走了n圈(如果n是负整数,则刚好沿顺时针方向走了-n圈,按照惯例,逆时针方向称为正向,顺时针方向称为负向)。我们把n称为函数f(z)绕原点的绕数(winding number),记作w(f,0),这是个拓扑指标,它决定了方程f(z)=c的解的个数。现在我们稍微走得远一点,假设g(z)是解析函数(后面再解释为什么用解析函数以及什么区域上的解析函数),用f(z)去乘g(z)意味着什么?实际上是对g(z)做了一次变换,由于函数的四则运算是逐点定义的,所以
Tf(z)g(z)=f(z)g(z)
 
是一个线性变换,取定一个解析函数h(z),方程
 
Tf(z)g(z)=h(z)
  
是否有解?相信学过复变函数的人一定知道该方程未必有解,原因是Tf未必是个满射,上述方程有解当且仅当h(z)在Tf的像空间中。那么,Tf的核有多大?像空间有多大?记
 
KerTf={g|Tfg=0},R(Tf)={Tfg|g是解析函数},
  
KerTf={0}意味着方程的解是唯一的,Tf是满射意味着对一切的h,方程
Tfg=h有解。这里的KerTf的确等于零,但Tf却不是个满射,这就是说,对某些h,方程
  
Tf(z)g(z)=h(z)
     
是无解的,这种h有多少?能否确定它的维数?一般情况下,使得方程
 
Tf(z)g(z)=h(z)
  
无解的h可能形成一个无限维的空间,但对这里的f,可以验证,这样的h只形成一个有限维空间(事实上,它是n维的),我们把无解的h形成的空间称为Tf的余核,记作
CokerTf,KerTf的维数与CokerTf的维数之差称为Tf的Fredholm指标,记作IndexTf,这是线性变换(算子)理论中的一个重要不变量,它有着许多重要性质,此处就不能讨论了,对
  
f(z)=zn,IndexTf=-n。
   
我们发现
  
IndexTf=-w(f,0),
   
这个关系是偶然的吗?对更一般的f类似结论是否仍然成立?奇妙的是,这个关系式具有一般意义!这就是著名的指标公式,它是Atiyha-Singer指标理论的雏形,反应了符号映射的拓扑特征与线性变换的分析特征的内在联系。
       晕了吧?还有个问题没回答呢,为什么要用解析函数?它的一个重要工程背景是“黑箱”的描述,Laplace变换将时间域上的微分方程转变成了频率域上的代数方程(即上面讨论的乘法变换),系统的一种重要情形是稳定箱(stable box),它对应的传输函数就是右半平面内没有极点的解析函数(可能你会奇怪,上面讨论的圆周,这里却是右半平面,好办,做一下共形变换就行了)。
       数学中的不变量很多,每一个都堪称“绝色佳人”,美丽无比,代(数)、分(析)、微(分几何)、拓(扑)几大家族的美女们各有千秋,但遗憾的是,谁都不是完美无暇,指望任何一个完成分类都是徒劳的。于是各路豪杰仍在不断的创造,期望有朝一日造出个空前绝后、美艳不可方物的尤物来完成历史使命。知道杂交能出优良品种的不只有袁隆平,数学家们也知道,数学各个分支的相互渗透已是司空见惯的事情,事实上,有时候你已经很难分清某个数学家是搞几何的还是搞分析的。


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