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话说函数的周期 精选

已有 8003 次阅读 2017-7-9 16:58 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

上文说到狄里克莱函数没有最小正周期,黄教授认为:“非常数的连续周期函数应该有最小正周期。”只要学过区间套原理、聚点原理之类的东西就不难回答这个问题。想不想试试?如果试不出来再往下看。

假设y=f(x)是连续的周期函数,但没有最小正周期,令

T0=inf{T|T>0y=f(x)的周期}

可以证明T0=0。事实上,如果T0>0,则存在y=f(x)的正周期序列{Tn}使得TnT0,对任意x,有

f(x+T0)=limn→∞f(x+Tn)=f(x),这说明T0也是y=f(x)的正周期,从而是其最小正周期,这与假设矛盾,故必有T0=0,于是存在一个趋于0的正周期序列{Tn}。任取两点x1x2,不妨设x1<x2,则存在n0,对任意n>n0,存在正整数kn使得

x1+(kn-1)Tnx2<x1+knTn(为什么?)。

xn=x1+(kn-1)Tnyn= x1+knTn,则

xnx2<yn

yn-xn=Tn0,可见xnx2ynx2。由函数的连续性知f(xn)f(x2),又因为f(xn)=f(x1+(kn-1)Tn)=f(x1),这说明f(x1)=f(x2),即y=f(x)是常数。

张教授又提出一个问题,去掉连续性假设,一个周期函数如果没有最小正周期,其正周期的下确界是否可以为正?也就是说,如果y=f(x)是周期函数(不一定连续),记

T0=inf{T|T>0y=f(x)的周期}

是否必有T0=0

前面的证明利用了函数的连续性,所以那个证明不适用于非连续函数,有人能给出这个问题的解答吗?黄教授给出了一个很简洁的证明。假设y=f(x)是没有最小正周期的周期函数(未必连续),如果T0>0,则存在一列正周期Tn使得TnT0,不妨设Tn单调递减趋于T0,显然Tn+1-Tn仍是y=f(x)的正周期,当n充分大时,Tn+1-Tn<T0,这与T0是正周期的下确界矛盾,故T0=0

几个数学教授揪住这些初等问题津津乐道,不知道大学生们对此有何感想?世界上没有无缘无故的爱也没有无缘无故的恨,如果你不了解一件事,就很难对他产生兴趣,但这个了解的过程是需要付出代价的,很多同学之所以缺少兴趣就在于不愿意付出这个代价,也就无法从中得到乐趣。这些问题对于数学专业的同学应该是小儿科,对于非数学专业的同学可能有一定难度。

回到上篇博文说到的狄里克莱函数,这个函数有一个极限表达式:

        D(x)=limk→∞limn→∞[cos(k!πx)]2n

现在有人能证明这个等式吗?只需考虑当x分别为有理数与无理数时k!πx可以取到什么值便不难证明了。如果k!πx不是π的整数倍,其余弦的绝对值严格小于1,从而当指数趋于无穷时趋于0,当k!πxπ的整数倍时,其余弦的绝对值为1,故

                      limk→∞limn→∞[cos(k!πx)]2n=1

所以问题的关键在于当x是无理数时,k!πx为什么不可能是π的整数倍?当x是有理数时,只要k充分大,为什么k!πx一定是π的整数倍?

这篇博文告诉我们两件事实:

1、非常值连续周期函数必有一个最小的正周期;

2、周期函数如果没有最小正周期,其正周期的下确界一定为0




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