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m-重积分换元公式、代数基本定理

已有 259 次阅读 2017-10-12 13:28 |系统分类:教学心得

这几年在厦门大学数学科学学院为优秀本科生讲授最后一学期的“数学分析”,即多元微积分。颇有一些收获:

  1. 重积分换元公式的证明一般来说比较麻烦,传统的证法一般涉及估计小方块被换元映射变换后的体积,比较枯燥抽象。do Carmo 的名著“Differential Geometry of Curves and Surfaces”中有一道习题运用 Green 公式直接证明二重积分的换元公式。受其启发,我们利用 (m - 1) 重积分换元公式定义 m 维欧氏空间中的曲面积分,进而建立 m 维的散度定理,并用它证明 m 重积分换元公式。这样证明换元公式的同时把曲面积分的理论也建立起来了,此外我们还顺便得到 m 维的 Brouwer 不动点定理。我们的文章刚刚发表,见http://www.global-sci.org/jms/freedownload/v50n3/pdf/503-268.pdf

    过去两年,我在厦门大学教“数学分析”都是用我们的方法来证明重积分换元公式。我们对多元微积分的其他部分也有一些自己独到的考虑,目前正在撰写一本“多元微积分”的讲义。

  2. 代数基本定理在 200 多年前就被证明了,但至今还不断有各种新的证明出现。一些貌似只用微积分的证法,还是用到复平面的子集作为复平面的拓扑子空间的连通性。为此,我们致力于构造完全只用数学分析知识的证明方法。我们把经典结论“设 R^n 到自身的映射 f 的 Jacobi 行列式处处非零,并且 |x| 趋于无穷时 |f(x)| 趋于无穷,则 f 是满射”推广到更一般的情形,然后轻松地证明代数基本定理。把我们的方法搬到微分流形上,我们还得到这样的结论:紧流形上的向量值函数一定有无穷多个临界点。这篇 3 页的短文见附件。algb.pdf

很高兴在此与大家交流,请大家批评指正。



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1 蒋迅

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