浴缸，应该不是年货，但今年年前的浴缸网店却异常火爆。请看一个网店的截图:

   啊？这些平常连洗澡水都懒得倒的学生怎么突然对浴缸感兴趣了？原来，他们正在参加美国大学生数学建模竞赛！美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），是唯一的国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛。    

   MCM/ICM 是 Mathematical Contest In Modeling 和 Interdisciplinary Contest In Modeling 的缩写，即“数学建模竞赛”和“交叉学科建模竞赛”。MCM 始于 1985 年，ICM 始于 2000 年，由 COMAP（the Consortium for Mathematics and Its Application，美国数学及其应用联合会）主办，得到了 SIAM，NSA，INFORMS 等多个组织的赞助。MCM/ICM 着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以及结果的合理性。2015年，共有来自世界各地19个国家和地区共9773支队伍参加。刚刚成为大学生不久，就能参加国际比赛，的确是件令人兴奋的事。今年的比赛，就在年前举行，赛程4天，已经结束。今年的赛题有6题，关心浴缸的学生是因为他们选了A题，请看赛题（已译成中文）：

   一般人看完这题不尽哑然失笑，至于吗？浴缸水？干嘛搞得这么复杂？澡谁沒洗过澡，手试一下水温不就完了？不错，就家里洗澡这件事本身的确没必要搞得这么复杂。然而如果这个问题不知道怎么解决，那么对泳池、渔场的温度控制，乃至洋流的分析和评估也基本上也是束手无策。对于一个要三、四天就要解决的问题，这个题大小还是比较合适的。那么我们怎么解决这个题呢？

    如果你回答，我拿手试，这当然是一个解决方案。但这个方案不免太粗䧈了，那下面的问题就是：什么时候试，试几次？怎么保证手不被烫伤？手有了什么感觉采取什么措施？换个人是不是会有同样的结果？这种凭着感谢觉走的方法肯定不能得到一个最优的结果。那么怎么办？ 

   知识就是力量。大学里学过《数学物理方程》的同学会有底气地告诉你：我有办法！为了普及更多的人，我们在这里只分析一下思路而避免数学公式。

   其实这个问题就是一个热传导问题。提到这个问题，就不能不提其鼻祖法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）。 

   傅立叶生于法国中部一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，后就读于军校，1795年任巴黎综合理工助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，回国后被任命为一地方长官。傅里叶一辈子政学两栖，不过学术的光芒盖过了他政绩。

   1807年他写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交后被拒，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数、傅立叶分析等理论均由此创始。

   傅立叶由于对传热理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年任该院终生秘书。今天巴黎综合理工大学将其雕像骄傲地立于校中。

   1822年，几经波折，傅立叶终于出版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将前人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展完善，三角级数后来就以傅立叶的名字命名。傅立叶关于热传导问题的一系列工作及其深入研究的数学意义非凡，它迫使人们对函数概念作修正和推广，也催促了新的数学分支如集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。

   现在翻开数理教科书，傅里叶的名字比比皆是：傅里叶定律、傅里叶级数、傅里叶展开，傅里叶公式、傅里叶变换、傅里叶方程、傅里叶积分等等。大学生们对他又爱又恨，进校不久就被傅里叶打了一闷棍，不少同学如果在高等数学期末考试看见傅里叶，直接跳过放弃，去和别的题较劲。理工学生考完高数，以为和傅里叶告别了，没想到下学期又碰上他，而且傅里叶一直如影随形，学生们不停地被虐。甚至有同学一再被傅里叶挂课，不得不抚券长叹“既生傅，何生我？”不过你要真懂了他，你会爱上他，因为他的理论很深刻，他的方法很管用。

   好了回到我们的题目。既然天才的老傅早就解决了热传导问题，我们还干什么？不错，傅里叶解决了一般的热传导问题，这就是这个问题的基本模型。这也圈定了这个竞赛题的开放性不是很大。然而一般的模型和我们具体的问题之间还有一段距离，这段距离需要参赛者去填平。这就要求参赛者把讨论问题的区域、区域上的边界条件、状态的初始条件、方程的系数，方程的对流项和自由项找出来，最后把具体结果算出来。看了就头晕，把这些些搞清楚不太容易，要不怎么叫竞赛呢？太复杂了，不慌，我们从简单的情形开始。

1．最简单的情形：浴缸里一灌满了高温度的水，没有洗澡人，室温低于水温，问：水温的变化？

解：这个问题好做，数理方程的习题。浴缸里的水温满足热传导方程，我们所要确定的是区域和初边值条件。区域有赖于浴缸的形状。至于形状，用不着麻烦浴缸网店的客服MM，可以假定其为比较规则的形状，便于计算，例如半球柱形。前面客服MM已告诉我们他们浴缸的材质为亚克力热导系数为0.019 ，而空气得热导系数为0.024，都大大小于金属那成千上万的热导系数。虽然通过浴缸壁和接触空气的水面的热导系数差不多，但因为空气有对流，可以很快地把热量带走，相对于此浴缸壁基本可以假定为保暖绝热。这样我们就得到一个关于水温的热传导方程的初变值问题：一个半球柱的区域，内部满足热传导方程，半球面上满足法向导数热流等于0，半球水平面上等于适合空气交换表面热的边界条件，初始值等于高温水的温度，是常数。这个问题至少可以用计算机用经典算法算出数值解，用不同的颜色表示不同的温度，计算机可以画出一张漂亮的温度随时间变化的图。

2．加入一个热源，即热水在浴缸一段注入。先不考虑对流，那么注入的热水就是一个热源。问：此时水温的变化？

解：因为超缸的水会流走，所以区域不变。只要搞清楚热源供热的速度，这个数据客服MM好像也给了。如果水一直开着不关，这就是一个常数，就在热传导方程里加一个自由项，一样可以算出结果来。当然你不想浪费水，要求优化问题，水龙头是控制项，你可以让它成为一个时间的函数。

3．考虑浴缸里的水有对流。

解：要用到一点流体力学的知识，在上述方程中加入对流项，计算方法可作相应改变。

4．加入洗澡人，洗澡人在浴缸里有什么行为？

解：人在浴池里无非是：泡澡、洗浴、跳舞、游泳。我们一项项来。

泡澡。洗澡人除头已外浸没水中。人的体温是恒温36-7度，所以不会因为水热而变温。所以人体表面可以看成绝热。水面除了人头的一小块，还是原来的边界条件。不过这时内部区域发生了变化，区域变成了原来的半球柱区域再刨去人体。人体这么复杂，怎么办，简化。可以将人体简化成若干个柱体。计算时要用到处理不规则区域的技巧。

洗浴。洗浴过程，人体一半在水内，一半在水外。人在洗浴过程会不停将水冲在身上，所以这时人体可以考虑成是个冷源。

跳舞。上诉的冷源是时间的函数。

游泳。上述的冷源是空间的函数，如果浴缸足够大，可以游起来。

5．模型推广。我们还可以把模型推广到两人合洗模式，孩子下饺子模式等。

6．泡泡剂的加入。如果泡泡剂浮在水面，所以改变的是水面边界条件。

7．优化模型。考虑优化要先确定优化目标，如你是要最省水，还是最省时间，抑或是要最舒服。然后看你能控制的东西，如入热水速度和方式，浴室浴霸的使用，或者洗澡的方式。然后变动控制函数，然后在可行集里找出最优结果。例如在池水温度的一个容许变化范围内，控制入热水的方式以达到最优控制。数学的方法还要用到变分。这个问题的难度系数更高。

8．模型检验。直接跳入浴缸，详细记录各种情形下的各种舞姿、各种泳姿下浴池各个地点的温度。再把数据和理论结果相比较。数据要准确，最好要录像，当然为避不雅之嫌，记得穿上泳衣，并把人体打上马赛克。

   竞赛还要求参赛者自己就是客服MM，给浴缸顾客写一个说明书，当然先要把浴缸的优异性能吹一吹，加上夺人眼球的广告词，然后介绍一个最佳的洗澡方案。最后暗示，人还是要有一定的容忍范围，只要室温和水温有差距，如要水温恒常，那是成了癞蛤蟆想的事。