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世界名画中的数学26—几何h 精选

已有 14065 次阅读 2014-12-16 08:09 |个人分类:名画数学|系统分类:科普集锦|关键词:埃舍尔

       分形(Fractal)是很近代的数学思想,它表达了具有以非整数维形式充填空间的形态特征。尽管分形的思想雏形自古有之,1895年 魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)构造了具有“处处连续,点点不可微”性质的被誉为分形鼻祖的曲线。随后著名的雪花边的kouch曲线(下左图),Sierpinski三角形(下右图)被构造出来。但长期以来,具分形特点的几何体一直被认为只在人们的想象中存在。直到1967年,芒德勃罗(B.B.Mandelbrot) 在美国《科学》(Science)杂志上发表题为《英国的海岸线有多长》的论文,才把分形从象牙塔中请了下来,告诉人们英国的海岸线可以无限长,不可以用欧几里德几何度量。人们惊讶地发现,分形几乎到处存在。



       1973年芒德勃罗首次提出分形一词,以此来表达其具有不规则、支离破碎等意义,并创立了分形几何理论学科。之后随着计算机的发展,分形成为一门热门的数学学科,并衍射到许多其他科学学科。

       分形一般有以下特质:

  • 在任意小的尺度上都有精细结构

  • 不规则,难以用传统欧氏几何的语言来描述

  • 具有自相似形式

  • 一般地,其“分形维数” 会大于拓扑维数

  • 在多数情况下有着简单的递归定义

       1972年就去世了的埃舍尔应该不知道什么是分形,然而在他的画里,我们已经可以捕捉到分形的思想。尽管埃舍尔的大量作品不乏有自相似、递归等分形特点,要真正算上符合分形定义虽然不多却已经光彩夺目。


       上面的这副画叫“刺花”(Prickly Flower,1936)。这实际上已是一幅典型的分形画。那花边的毛毛刺刺连起来恐怕比英国的海岸线还要长。
       如果说埃舍尔画“刺花”还只是碰巧画了一个具分形特点的花,那么下面这幅“露珠”(Dewdrop,1948)就能直接触摸到画家的分形思想。画中叶面上有一滴水,除了反射
和叶脉结构类似的窗户,还像一个显微镜。通过这个水滴,作者让我们看到了叶子更细微的结构,这种结构就是不规则叶脉递归的自相似性,越来越小。很多年后,当计算机可以模拟出了类似的图形后,再回来看埃舍尔的这幅作品,不能不佩服他那超越时代的分形感悟。





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