一叶知秋分享 http://blog.sciencenet.cn/u/liangjin 同济大学数学系,风险管理研究所

博文

数学建模讲义(前言) 精选

已有 10025 次阅读 2014-1-20 14:00 |个人分类:生活点滴|系统分类:科普集锦|关键词:数学建模讲义| 数学建模讲义

注:本文与正式书版有微小出入


万事万物,自然的或社会的,都依循着某些规律或自行发展或相互影响,形成了我们这个丰富多彩的世界。为了尽可能准确并精确地刻画这些规律和相互关系,数学成为一个必然的工具。

所谓模型,就是指为了某个特定的目的将所要研究的实际对象(即原型)的一部分相关信息简缩、提炼、抽象出来而忽略其它特性所构成的原型的代替物。例如,玩具、照片、航模、沙盘等是实物模型,风洞、失重舱,人工地震装置等是物理模型,而地图、电路图,分子式则是符号模型。对同一个实际对象,为了不同目的和不同要求就会形成不同形式和不同层次的模型,甚至可以得到完全不同的模型。 

数学模型不考虑研究对象的外在特性而注重其变化规律和及其定量的描述方式。总之,数学模型是为一个特定的目的,对一个特定对象,在必要的假定下,运用适当的数学工具,根据其内在规律和相关关系,所得到的数学结构。

建立数学模型的全过程就称为数学建模。也就是说,数学建模就是应用数学工具来分析各种关系并建立研究对象的内在规律模型,并进行推演和计算,然后用得到的结果回答原来问题的过程。从而以此深入了解这些研究对象,并制定最佳方案,合理规划管理、优化操作程序、控制各种风险、预测未来动态等等。

数学建模在中国自古既有。古代《绎史》中记载:“伏羲坐于方坛之上,听八方之气,乃画八卦”,《易》中也记载:“古者包牺氏之王天下也,仰则观象于天,俯则观法于地,观鱼兽之文与地之宜,近取诸身,远取诸物,于是始作八卦,以通神明之德,以类万物之情。”这段文字也描述了伏羲(即包牺)为大自然建模的过程:他上观天文,下察地理,研究生物的习性和与之适宜的环境,收集远近各种物证,从而创造了八卦,以宣扬神明之功德,以解释自然之规律。

 

太极八卦恐怕就是我们最早的数学模型了。下图就是一个太极八卦图,它表示了一套有象征意义的符号及其之间的关系。图中的中圈乃“太极”,黑白部分鱼形为“两仪”,用“-”代表阳,用“--”代表阴,用三个这样的符号组成八种形式,即上图中八边形之边上的三叠线段就是“八卦”。其中上下左右四卦的内层两线段称作“四象”。《易传》书中写道:“是故易有太极,是生两仪;两仪生四象;四象生八卦”。这种分割数学意味已很浓,但隐含的哲学思想更深奥。图形中太极中两仪的相互依存,相互渗透也反映古人对自然、对宇宙的理念。八卦中每一卦形代表一定的事物。乾代表天,坤代表地,坎代表水,离代表火,震代表雷,艮代表山,巽代表风,兑代表沼泽。八卦又代表其它象征如东,东南,南,西南,西,西北,北,东北八个方位。而乾坤有代表天地,男女,阳阴,正负等意象,用形象的八卦解释万物反映出古人对大自然的抽象和理解。虽然比较质朴而含蓄,但这个模型影响深远,至今在我们的生活中仍然有其不可动摇的地位。

今天我们还可以以解析几何的观点来审视八卦:以八卦为顶点边长为1的正方体,用阳爻“-”表示单位1的坐标,代表有;用阴爻“--”表示0的坐标,代表无。则正方体八个顶点的立体坐标与八卦对应如下:乾(1,1,1),兑(0,1,1),离(1,0,1),巽(1,1,0),坤(0,0,0),震(0,0,1),坎(0,1,0),艮(1,0,0),如图。不仅八卦,古代的《周易》、《周髀算经》和《九章算术》等名著中也包含许多古人数学建模的思想和论题。

 

从科研的角度上来讲,数学建模的历史也由来已久,人们应用数学去探索事物发展的规律几乎伴随着科学研究同时诞生,同时发展。数学最早在天文学和物理学研究中大显身手。很多数学分支都是从人们周围现象的研究中发展而来。随后又衍生出各个理科学科,如化学、生物学和计算机学等。随着人们对定量分析的要求越来越高,数学也越来越深地渗透到传统的文科学科,如经济学、管理学和社会学等。如今,众多传统的领域里,数学建模的应用越来越完善,在高新技术等前沿领域,数学建模扮演着不可或缺的角色。同时数学建模在许多新兴领域迅速地开拓了一批处女地。在一些重大问题如人口问题,污染问题等则必须通过数学建模去评估、去决策。

 

其实,从小学到大学,我们已碰到过各种各样的建模问题。小学中的应用题就是建模的雏形。而中学里的代数的实际起源恐怕就是最简单的建模。只不过在小学中学遇到的这种类型的建模题,已做了抽象,有了假定,条件限制得很严格,所以其答案和方法都已潜定。但同时这些经验也给了我们一个错觉,从数学问题正确答案的唯一性来误以为数学建模也有标准答案。而事实上,实际的数学建模是开放性的。

由于建模对象是一个客观实体,而建模过程是一个认识、探索和刻画这个客观实体的主观过程。既然是建模是主观的,我们所建的模型在反映的客观实体上就有局限性。这个局限性,一方面受制于我们对建模对象的抽象,另一方面受制于我们对建模对象的了解,还要受制于我们本身的数学知识水平。所以,建模是一个复杂的渐进过程,同样的实际问题所建立的模型可能会因而异,因时而异。所以数学建模不同于简单的解一道数学问题那样会有一个标准答案,而是完全不同的答卷却各有道理,因此它们不再有对错之分而只有优劣之别。这样,数学建模就不同于传统的数学,就会需要对各种结果进行评价。所以,数学建模不是一门纯理科课程,而是一个融进了许多文科元素和特点,甚至是可能含有艺术细胞的一门特殊理科课程。

随着社会和科技的进步,数学的方法越来越被广泛地应用到各个领域,并渗透到其方方面面。当我们的学生走上社会,从事各种工作,分析问题和解决问题的能力的大小将决定其在工作岗位上的贡献程度。数学建模对学生提高这方面的能力将有重要帮助。 

为更好地引进建模,我们先看一个简单的例子:



 从上面的例子可以看出,对于一个有基本数学素养的读者来说,一旦模型建起来,解模型过程并不复杂。问题是“怎么想到”把稳不稳和一个数学式子挂起钩来。而这就是我们数学建模的核心问题所在。一旦这个问题解决。数学建模可以很明确地回答我们实际问题中的疑问,还可以进一步对其中的关系给出定量的解。

如上可看出,学习数学建模,建模的思想是关键。通过这门课的学习,我们要学会融会贯通地应用所学到的各种思想和方法,灵活地举一反三地去解决更多的问题。简单地说,学习本课程,不只是多学几种方法,更重要的是如何“想到”用什么方法去解决问题。古人郑板桥对画竹独有心得:“江馆清秋,晨起看竹,烟光、日影、露气,皆浮动于疏枝密叶之间。胸中勃勃,遂有画意。其实胸中之竹,并不是眼中之竹也。因而磨墨、展纸、落笔,倏作变相,手中之竹,又不是胸中之竹也”。这种从眼中之竹——胸中之竹——手中之竹,即看竹、思竹至画竹的过程颇似我们的建模过程。这里真正的竹子是我们研究建模的客体,胸中的竹子就是我们抽象了的对象,而画中的竹子就是我们建模的结果,而这个过程就是从客观对象——思考分析——建模论文的全过程,我们可以从中古人的经验中得以领悟建模的精髓。

本书是一本教材,适用于有一定的数学理念和基础,并能应用网络和计算机软件包(如Matlab)的大学生。希望通过本课程的学习,学生可以理解如何去理解和研究一个实际问题,并最大限度地应用自己的数学知识去分析研究对象,摸清其规律,建立相应的数学结构,推演计算出结果,并用这些结果回答实际问题。本书的例子尽量选用实际问题,并结合数学建模竞赛的要求;尽量做到学生们使用这本教材学完数学建模课程后,就可以为今后进一步的学习打下基础,从而可以为今后在工作中解决实际问题做好准备,又能对在校期间参加数学建模竞赛有所帮助。

对于教学者来说,作为一本教材,由于数学建模的特点,本书前后的相依关系并不是很严格,加*部分的内容比较难,可以考虑选修。所以教学者可以根据学生的实际情况对教程进行排列和增减。一般来说,这本教材适合每周2-3学时。书中附有大量习题,这些习题很多都是开放性的题目,并没有标准答案。但一般根据所在章的方法得到问题的解。教学者应该引导学生进一步思考讨论,在更合理的范围里找到问题的解决方案。

   本书分为两个部分。下面的第1篇是本书的主体,在这部分分别讲述了数学建模中的几种基本方法。考虑到教学对象的知识结构和教学时间的有限性,本书并不追求介绍所有的方法,而只选用典型的有代表性的又不超出学生可接受范围的方法。通过这部分的学习,学生应该掌握数学建模的基本思想和方法。第2篇介绍如何较好完成数学建模全过程所要遇到的各项任务。读者可通过阅读这部分内容,了解完成一篇数学建模论文的全过程,并为今后进一步科研和其它工作做好准备。第2篇虽然是数学建模的辅助部分,但也很重要。应该教会学生如何将自己的思想、结果和方法表达出来,使他们如虎添翼。

数学建模的学习不止在课堂上完成,学生还需要通过社会实践、建模竞赛以及以后的工作中不断应用,不断进步。从这个意义上说,本书只是学生进行数学建模的敲门砖和引路石。




http://blog.sciencenet.cn/blog-39446-760715.html

上一篇:灵感从哪里来?
下一篇:数学建模讲义(节选1)——数学模拟与Monte Carlo 方法

31 陈楷翰 武夷山 刘建兴 李学宽 柳林涛 王永林 张永祥 白图格吉扎布 喻海良 王世喜 刘洋 刘玉强 朱新亮 刘庆宽 孙根年 吴桂生 高应波 曹君君 张洁 李小文 田丰 侯沉 刘俊华 李泳 王林平 陈绥阳 徐传胜 韦玉程 沈小梅 强涛 xuexiyanjiu

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (42 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-3-30 03:20

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部