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π与e 所代表的两种数学哲学体系 精选

已有 13110 次阅读 2016-6-24 16:29 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记

 

       数学上π是与圆弧相联系的,如我国祖冲之的研究的就是直线长度与圆弧长度的关系,从而计算π的值。从而π是源于几何。直线长度与圆周长度的几何关系,属于平面欧几里德几何体系的概念。

在高斯曲面几何理论中,用长度与弧度的代数方程(一元二次方程)确立了长度、弧度的协调定义,在数学上对π给出了几何解释和代数解释。

在迪卡尔建立直角坐标系概念统一了几何与代数理论后,π就成为三角函数的代数概念。后来π成为付立叶函数展开的概念,再演化为角频率的概念。

不管后来π的应用是如何广泛,它的哲学上的根还是几何学的。所以,π属于经验上升为抽象。

而常数则不然,它是纯粹的代数概念(由最大整数N除于1N所有整数的积再开N次方,取N无限大的极限),依赖于极限概念。从而也是的代数量。

的虚数幂(e函数)来表达圆弧是代数学的专利,从而形成了另外的一个复数代数理论,与三角函数对应了起来。

但是,与圆弧几何理论不同,函数能简洁的表达双曲线,而基于π的三角函数则不能。

因此,代数的圆弧的π等能表达复杂曲线,从而在微积分发明以后,代数理论一家独大。总的来说属于抽象还原为经验。

在现代科学理论中,π e 几乎是形影不离,各自有自身的优势。

就以微积分的发现而论,牛顿是走的几何路线;莱布尼兹走的是代数路线。在两个科学大家争论谁是首发人时,在那个时代,牛顿是占有社会一般科学背景的优势的,而莱布尼兹只占有学院派优势。

这两条路线的影响是深远的。欧拉力学属于几何路线;拉格朗日、哈密尔顿属于代数路线。一般而言,从能量(标量)出发的理论几乎都是源于代数路线,把几何路线的结果作为解释性的。(教科书的标准用语,导数、X代数方程的几何意义是。。。)。

到了20世纪,爱因斯坦的相对论打破了代数理论的一统天下,把几何理论抽象代数化了。从而,科学研究的几何路线开始升温。

20世纪的科学研究中,很大的研究内容是熔合几何路线和代数路线,并最终在“流形”这个概念上达成了共识。

然而,几何流形?流形代数?在不同的着重点下,其后期所展开的理论(如以几何为重点的:连续介质力学,规范场论;不偏不向的:算子理论;以代数为重点的:量子力学,热力学)依然保留了不同的血统。

如果反向追溯下去,还是回到基本的:几何作为基本点(由经验上升为抽象),还是代数作为基本点(由抽象还原为经验)。

科学上的基本选择是两条路线的协调性前进,等价于相互验证。这是在现代科学理论中的特点。几何=经验,代数=抽象,两者相互验证。

应该说,这是抽象意义下的理论联系实际。

       目前科学理论界很难受的问题是:对热力学的温度、熵,给不出等价的几何概念;对量子力学的动量、能量也给不出等价的几何概念。(当然,相关的理论学家坚持他们已经给出了等价的几何解释,如统计物理,弦论,超弦理论)。

       所以,如果有人声称他发现了π e 的等价性或是抽象关系,那么在数学理论上是了不起的(目前的国际理论研究是在为这个目标而努力)。但是,说发现了π e 有类似性,或是某种数学公式性的联系性,则基本上没有意义。这早就是广为应用的联系。

       所以,提出科学问题有两个层次,概念性的(定性的,或定量的),抽象演绎性的(数学化的)。而无论如何研究,迪卡尔把几何与代数熔合,而不是对立,始终是正确的哲学路线。

       就历史而言,把几何与代数割裂的后果是:没有建立经典科学理论。

       21世纪,学界会把几何与代数割裂吗?在全球尺度上绝对不会!但是,在国家尺度上,或在学科尺度上,绝对是常见现象。

       在哲学基本问题上,我们并不比前人(古人)高明多少。

 

 



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