数学家描述流形变换喜欢用坐标变换方式（局部变换，一般为线性微分变换），其好处是避免引入更多的中间量，获得简洁性。另外，代数观点是幕后的支配因素。而理论物理学家则喜欢用切矢量变换或是法矢量变换来描述流形的张量变换。如果直接把微分坐标记号dx看成是矢量，两者基本上没有差别。

      抽象上看，作为联系两个微分点间矢量集的张量变换，上述形式化表达，既适用于直角系空间的矢量集（雅克比坐标变换表达），也适用于任意系空间的矢量集（拖带系基矢变换表达）。

在把微分坐标记号dx看成是矢量（一般是弯曲的）时，如不是出于具体工程应用目的，或没必要特别的加以区分，完全没有必要区分二者，假定读者有这方面的基本知识。

但是，对工科学科而言，这就有了两派了。一派是坐标变换表达，他们把dx看成是坐标（标量），这样流形上的张量变换就退化为坐标变换系数了。此时，一般而言，它不是张量。人们称之为坐标变换系数矩阵。从而，使用矩阵符号表达。这个方式是我国教科书的正统方式。理所当然的，坐标变了，相应于该坐标的物理分量也得跟着变（以维持物理量的客观不变），这样，就以使用正变换系数矩阵来变换，还是使用逆变换系数矩阵来变换，引出协变张量、逆变张量的概念。

这种认识方式根植于工程科学中，也广泛流传于物理学、数学的很多学科中。

这种说法本身没有大的不对之处，但是，必须加上不言自明的条件：基矢是物理分量；用逆变微分坐标乘协变基矢来代替dx。

从而如果是在物理、力学上应用张量理论，只要别忘了规范张量（二阶协变），上述微分坐标变换认识就无所谓了。

对于在微分几何意义下研究张量理论者，数学家关心的是其“物理量”（基矢分量，或规范张量），研究不同几何流形的此类张量及相关的代数运算，其隐含的假定是：坐标（数值部分）是随体拖带的。流形的变换，尤其是演化，表现为“物理量”的变换或演化。流形间的变换是张量变换（物理量变换）。如果有多个流形，有时不得不也引入坐标变换，表示可以实现数值坐标的一一对应。在此条件下，完成坐标在拖带意义上的一致化后，再回头研究物理量变换。这类表达方式需要频繁的使用上下标。

      矢量算子在工科中的推广造就了一个习惯：用大写的矩阵字母表达张量（也用大写的字母表达矢量）。

      而现代数学习惯于：用小写的微分坐标，既表达了其数值部分，也表达了其矢量部分。隐含的意义是：你可以理解为坐标表达（把基矢作为隐含的物理分量处理），也可以理解为基矢表达（把坐标拖带化（或单位化），基矢作为自变量来处理）。

      如果读者根本理不清二者的差别，或者是没学不到家，把两类表达混为一谈是绝对要发生的现象。而，在这类错误理解下的引用他人文章上的公式的现象是非常普遍的见于论文中的（也含部分学术专著）。由此引出的学术争论，原则上构不成学术争论！

      我国工程学界有一个普遍的认识：用上下标的张量是落后的表现，用矩阵符号表达张量才是摩登化的。有的期刊直接规定：一切投稿，其张量的写法必须是大写字母。只有其分量可以写出具体上下标（一般是只用下标，并认为这就是爱因斯坦的协变性原理）。对此类期刊我从不投稿。但多数期刊如此，也就只好不投稿了！

      在这种错误的认识下，现代数学的工程化是几乎不可能的。因为，起点概念就没有被大多数人正确认识。而错误认识（片面认识）成为“正统”。