在微积分理论中，一个最基本的概念是：在无限小的意义下，可以用局部曲线的切线取代原曲线，从而对曲线的积分就是其面积。

      微分几何在本质上继承了这个要点，引入切空间矢量代表微分长度曲线，并推广到高维空间。

      而另一方面，代数理论给出的坐标变换理论认为，一组微分坐标增量，可以在局部表达为另一组微分增量坐标的线性和dX= J dx ，并称之为雅可比变换。

      在抽象的数学结构上，两者是等价的。至少，大多数作者是这样看的。

      为了打消人们的疑惑，只要雅可比变换是可逆的，就可以证明这两个增量坐标就是等价的，从而，建立与具体坐标无关的张量代数或算子理论。

      到目前为止，这个理论在物理、力学中是主流理论。

      问题在于，如果无限小只能在概念上实现，而在工程或实际操作上无法实现的话，会如何呢？

      问这个问题的人是担很大风险的。因为这就意味着否定极限的概念，也就是说不承认无限小，而只承认有限小。

      Clifford（150年前）几何代数采用的就是这样一个现实主义的态度，von Neumann （60年前）的非线性几何场论也采用这样的一个现实主义的态度。而法国数学力学家Brillouin, L., （Tensors in Mechanics and Elasticity, New York: Academic Press, 1964）在将张量建立有限小概念上时，很自然的否定了坐标变换的张量概念。在连续介质力学上，这是很自然的。

      在力学上，这种有限小的概念被均匀各向同性假设隐藏下来，为了什么目的呢？答案是：为了微分方程（运动方程）的合理性。而微分方程的合理性是由能得到某些理论解（也称精确解）来证明的。

      但是，人们是在有选择的使用论据，很多的实际问题并没有由“正确的”微分方程给出正确的答案。

      人们很快的就达成协议：高阶小量不能忽略不计！从而引入非线性项。所谓的非线性科学也就应运而生。这在逻缉上是不是对无限小的否定？是不是在隐讳的形式上承认有限小的概念呢？

      如果是承认有限小的概念，也就会自然的接受Clifford几何代数方法。如果不接受，就必须发展在传统微分算子上的扩展理论算子。

      这两条道路是有竞争性的。

      目前的主流是：发展在传统微分算子上的扩展理论算子。

      从工程角度看，有限小的概念是现实的。那么这个有限小实际上就定义了一个尺度。不同的有限小定义了不同的尺度，从而，现实问题是多尺度的。

      如果我们要证明：微分运动方程是正确的，那就要证明该方程与尺度无关，或者说是可以做尺度归一化。从而，存在与尺度无关的抽象形式。

      如果认为与尺度有关，就会认为：不同的尺度下有不同的规律性，从而寻求各尺度的对应规律。如，介观物理学，纳米力学，等。这又走得有点太过了！

      能令两者都满足的办法就是使用基于有限小（最小的那个尺度）的几何代数理论。

      在形式上，几何代数理论远比微积分理论复杂，但是，它却最靠近现实性。

      形式与本质的表面上的不一致阻碍了人们对几何代数方法的认识。