我注意到河南理工大学已退休的80岁数学老教授曹俊云近期发表的6篇论文，都是数学上与工程应用密切相关的基础数学概念。

    在下载这几篇文章后，我深感震撼，因为在抽象的几何代数理论中的很多概括性概念都或多或少的包含了类似的考虑，而80岁数学教授曹俊云还能关注到这类基本问题，并提出自身的、入木三分的见解，实在是可贵的。

    为了使此研究成果为大家所了解，特将有关论文及摘要罗列如下。

[1]曹俊云. 基本数学概念的探讨与改革[OL].  [2010-10-19]. 中国科技论文在线，

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201010-286

   摘要： 哥德尔不完全定理说明：形式逻辑无法建立无矛盾的数学体系；唯物辩证法是阐述基本数学概念的必要方法.数学上的基本术语几乎都是理想性的事物，理想依赖于现实.无穷集合是有穷集合序列的极限，而且这个极限具有不可达到的性质.无尽小数、无穷大、无穷小的真实意义都是无穷数列.线段长度的真值是误差界趋向于零时的极限；理想实数是以有理数为项的无穷序列的极限；无有大小的理想点是有大小的近似点的极限;理想平行线是近似平行线的极限；所有上述极限都具有不可达到的性质.瞬时速度的真实意义是足够小时段上的平均速度的足够准的近似值.满足误差界的近似方法与逐次逼近法是研究连续性现实数量的根本方法。

    博主评论：现代的几何代数理论被物理学家所重视原因的一部分就是这。点被一个有体积、面积、长度的三个独立或半独立项表达；极限被限定在大于某个尺度（一般是广义体积尺度）之上。

[2] 曹俊云. 全能近似函数的概念及其应用[OL].  [2010-12-27]. 中国科技论文在线，

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201012-1154

   摘要：在连续性现实数量测不准的事实下，对现实数量大小及其关系的描述必须使用近似方法与进一步提高精度的近似方法. 为此，对于函数也必须提出近似、全能近似、理想三种函数的技术术语．逐段具有足够阶连续导数的函数叫做好函数. 为了解决某些难题，可以使用近似函数去替换原来的函数.

    博主评论：现代的几何代数理论解答此问题的思路是，在哲学上认为有限和更接近于真实，从而，对积分概念作了非常大的改动，积分被定义为Stokes 形。从而，用形的概念拓宽函数的概念。

[3] 曹俊云，曹凯. 无穷级数的概念与表达式问题[OL].  [2011-12-26]. 中国科技论文在线，

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201112-718

   摘要：无穷次加法运算无法进行；在这种意义下的无穷级数是无有意义的。必须从前n项的部分和及其序列极限意义上理解无穷级数。现有无穷级数表达式相当于约定级数和符号的意义为前n项部分和序列的极限，这种约定不恰当。应当约定级数和符号的意义为部分和序列。在这个改革意义下，无尽级数和0.9+0.09+0.009+……的意义是无穷数列0.9,0.99,0.999,……。它与1之间成立全能近似相等关系。

    博主评论：这个问题源于同济版的高等数学及很多数学教科书，在复旦大学60版的数学分析中有专门的论述。

[4] 曹俊云，曹凯. 积分学理论与应用的改革[OL].  [2012-01-09]. 中国科技论文在线，

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201201-241

   摘要：使用求极限的"夹逼准则"可以证明：连续函数 构成的曲边梯形的面积函 数是 的一个原函数。 解定积分应用问题的实质是先求出所求量函数的导数或微分，然后使用原函数增量方法解决的。将定积分定义为原函数的增量，可以使积分学理论大大地简化。

    博主评论：用原形增量代替积分已在现代的几何代数理论中采用。它不是为了使理论简化，而是为了更加符合真实性。并在计算方法上会代来大的变革。是个热们课题。

[5] 曹俊云. 实数理论中的问题及其改革[OL].  [2010-11-10]. 中国科技论文在线，

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201011-208

   摘要："无穷"二字的本来意义是"无有穷尽"、"无有终了"。无尽小数的真实意义应当是无穷数列的简写；它们都是定义在自然数集合上的变数而不是常数。需要提出理想、近似、全能近似三个技术术语，应用相互依赖的对立统一法则去阐述实数理论。布劳维尔（Brouwer）提出的三分律的反例不仅需要消除，而且能够被消除。实数与现实数量（例如：线段长度）的关系需要说明。

    博主评论：现代的几何代数理论对这个问题的提法是：解答实数与物理真实性的问题，

[6] 曹俊云. 全能近似分析下的瞬时速度微分导数概念[OL].  [2011-01-21]. 中国科技论文在线，

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201101-1119

   摘要：没有长度的瞬时不能构成有长度的时段。瞬时速度是足够小时段上平均速度的近似值。使用全能近似导数，才能得到函数取得极值的必要兼充分条件。使用近似导数，才能“无矛盾地解释”瞬时速度的物理意义。把微分看作变数，才能够恰当地解释微分与函数微分的作用；现行教科书中的间接测量误差界计算式是不可靠的。

    博主评论：这是李导数的概念，目前有四种主流的理论定义，那一个在工程上好用还有待深入研究。

    看了80岁数学老教授曹俊云近期发表的6篇论文，我感到他的思想还是很现代化的，但是，受到时代和年令的制约，参与有关的革新是心有余而机不可得。但是，其研究成果还是非常有价值的，他们从另外一个角度为发展现代的几何代数理论的必要性提供了说明！

    我们还没有退休的、能够得到的结论是：只争朝夕！！