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波动方程及其求解

已有 4958 次阅读 2017-6-16 18:34 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记

 

       本博文谈经典弹性波动方程的求解问题,而不是量子力学波动方程的求解问题,或其它类的波动方程。

       在变形力学上,对弹性波的问题有完全不同的看法。但是,一般的教科书只选其中一种波动观点。目前在我国居绝对主流地位的是位移场的波动方程。

       1. 波势理论

       最早得到普遍认可的球面波是波势概念下的波动理论。这个理论认为波势满足波动方程,其一般解为:A=f(t-r/c)/r。在这个问题上几乎没有争论。

在教科书上,由它得到位移波场为:u=-f(t-r/c)/(rc)。而工程上很多人取: u=-f(t-r/c)/r2。而严格的由波动理论得到的波位移为:u=-f(t-r/c) [(k/r)exp(-kr)]。对于脉冲波,取kr=1,则:u=-f(t-r/c)/r2。在差一个常数因子的意义上,工程解与严格的理论解是一致的,但是与教科书解是不同的。

我发现,好的教科书取:u=-kf(t-r/c)/r,在取kr=1,也与工程解一致。这里,k为波数,是波长的倒数。其隐含的意义是特征长度。由于波数与频率成正比,这样,这几种不同观点的焦点就表现为频散曲线的不同。

2. 位移场理论

位移场理论的代表方程是NS(耐维尔-斯托克斯方程),对于球面波,它给出的通解是u=f(t-r/c)/r2。这也是多数教科书给出的位移解。为何是这个解呢?因为要与静态精确解保持一致性。但是,也有很多教科书给出NS方程的解为u=f(t-r/c)/r。我们注意到,只要是使用位移场的散度方程就是u=f(t-r/c)/r解;只要是使用应力方程,就是u=f(t-r/c)/r2解。争论的结果是:把散度解称为谐波解;把因力解称为冲击波解。

这是由于采用的波动方程不同而引出的争论。后来发现,NS方程含有与变形无关的整体位移,从而各自基于不同的工程对象采用不同的解。

数学力学家注意到的是:波势理论的波形函数不能参与求导。从而提出波的一般解形式为:A=a(r) f(q)。式中,q=相位,有单独的几何方程确定。从而,在对A函数求空间偏导数时,f(q)是不参与的(视为常数)。这就是射线求解法。

这个理论进展解决了波的幅度和相位分解下的求导问题。把波动方程转化为一个空间方程(等价于静态方程),和一个几何方程(频散方程)。

3. 变形能理论

最为正统的弹性波动方程是变形能理论。其理论基础是关于物理场的一般波动理论。由变形能导出变形位移场方程,从而抛弃了NS方程中与变形无关的整体位移。这是以斯通利为代表的,后经理性力学家进一步开拓的弹性波动理论。就形式上看,它依然是写为位移场的形式,但是本质上这个位移场完全的区别于NS方程的位移场。

弹性波动力学的历史表明,变形能理论预测的瑞利面波、拉夫面波、和斯通利波,是无法由NS方程或波势方程预测的。

这样,以事后诸葛亮的方式,人们才意识到,对于弹性变形,普通的矢量算子代数给出的结论是不正确的。从而,NS方程不适用于弹性波。

但是,变形能理论也面对一系列的理论问题。在理论上如何解决是20世纪后期非线性波动方程(及变分法)力图解决的。但是,从力学理论上看,非线性方程的路线没有多大的工程价值。这是因为,对于理想弹性介质的线性变形,频散曲线依然是复杂的,真实的非线性机制来源于变形本身,而不是来源于运动方程。因此,波动理论的研究就回到应力方程的路线。这是21世纪的特点,采用简单的理想弹性波应力方程,把位移与应力的关系置于决定性地位(如Crampin, HudsonBiot 等的研究路线)。在本质意义上,这条路线属于变形能路线。

但是,恰恰是这条理论路线在我国受到抵制,人们热爱NS路线和波势函数路线。客观上,在弹性动力学的思想上落后半个多世纪。

 

 



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1 张云

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