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在科学理论上,最简单的概念实质上也是最容易被误导的概念。现以曲面上的正交曲线系概念为例。
按照教科书的经典概念:在所研究的点,两条切线矢量正交!对于球面,取球坐标系,数学上,这就是曲线系。
对球面系,概念肯定是没有问题的。但是,对任意曲面就有问题了。
正确的定义是:对任意曲面,两条主曲率矢量正交!(有曲面约束)
对任意曲面,高斯曲面理论给出的定义是:在所研究的点曲面邻近,两条主曲率(有限曲线所在平面)曲线正交!也就是两个平面正交!在两条切线矢量正交概念上加上了约束条件:曲面法向必须在每条切矢量所在平面上!
按我国理性力学家陈至达理论:在所研究的点邻近(对任意微元体),任意两条主曲率曲线正交!(有限曲线所在的任意两个平面正交!)(不仅有曲面约束,还有微元体约束)。
这样,曲线正交系就分为两类:1)沿主曲率方向取局部坐标,为内禀坐标(它是严格的正交局部曲线系),我国力学家钱伟长称之为拖带坐标。这种局部拖带坐标没有任意性。只要局部曲面被给定,它也就被给定了。2)以切线正交定义的全局曲线系,如球坐标系。这种坐标可以自由选用。
按张量理论,局部内禀坐标可以由全局曲线系坐标增量给出。所以,在一番数学操作后,我们几乎不怀疑教科书的经典概念的普遍有效性。也就是说,经由合理的数学操作,我们消灭了高斯的理论概念(但采用了高斯理论的结果)。
但是,现代抽象理论采用约定:对于曲线坐标,在定义其点上的切矢量时,还必须定义该切矢量对应的微元曲线所在平面的法向(或主曲率法向)矢量。而且,称这两类定义是对偶的。
显然,只有在高斯的正交曲线概念下,这两类定义才是等价的(对偶的)。这是高维空间曲线正交系的基本定义方式。
此时,物理理论有最为简洁的表达方式。
这样一来,局部正交坐标系概念就必须由物理实在来建立。这个抽象概念是理解现代物理理论坐标概念,以及相应的矢量、张量概念的核心!
所以,如果一个学者认为:“在所研究的点,两条切线矢量正交”就是曲线正交概念的话,他就无论如何无法理解现代物理理论的相关概念(矢量,协变,逆变)。但是,他完全的可能有良好的运算能力。但是,在物理上迷失了。
就我的教学经验而言,无论在课堂上如何论述高斯的曲线正交概念,学生们依然是在本质上使用,两条切线矢量正交!
总而言之,最简单的概念实质上也是最容易被误导的概念。一旦被误导,也就难于理解正确的(往往是抽象的)理论了。
现代物理学家非常的恨曲线正交的传统概念“在所研究的点,两条切线矢量正交!”。提出采用没有点概念的几何体系。但是,从20世纪的40年代喊到现在,这个经典的概念,伴随着柱坐标系、球坐标系(被称为曲线系)被普遍采用到教科书中,总是成为学者们理解高斯的曲线正交概念的障碍!
很多的国外理论书,其长篇大论的论述就是:如何把任意全局系意义下的坐标、矢量(张量),变换为在局部曲线正交意义下的局部坐标系、及相应的矢量(张量)变换规则。这类书作为数学可以,但是作为物理的话,就令人找不到北了。
在科学理论上,最简单的概念实质上也是最容易被误导的概念。正交曲线系概念与高斯的曲线正交概念的差别就是百年来的案例!
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GMT+8, 2024-9-23 15:44
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