国庆假期，终于把第一章贴完了：）

大家节日快乐，事事如意！

1.4     “测度”与空间的“点、线、面”

“空间”尺度的测量以“测度”为基础。这里的“空间”可以是任意的参数空间。

      在真实空间里，一个区域（开或闭）的“测度”在一维空间就等于其长度、在二维空间就等于其面积、在三维空间就是等于其体积。所以空间的“几何点”的测度是零——即使是无穷多个几何点的集合，其测度也还是零。比如0和1之间所有的有理数的集合。同理，一条“几何线”的二维测度是零；而一张“几何面”的三维测度也是零。所以说，“非零”测度要求一个“邻域”！在物理学中，这个“邻域”可能对应着“磁力线”的粗细、“磁面”的厚薄（等离子体物理的磁流体理论）或者“坐标轴”的粗细（“十维时空”的理论）。

      在“参数空间”里，也不会有真正的“几何点”。从测量的角度来说，任何测得的参数值都是在一定的误差范围（error bar）内。在这一点上，我们把测量和“过程”联系起来了。这是我们研究问题要特别注意的：没有“绝对准确”的测量结果——或者说：“点”有大小、“线”有粗细、“面”有厚薄——“细节”，是我们不需要“看到”的！如果要看“细节”，我们就进入另外一个领域，在这个新的领域里，有新的不需要“看到”的、可以忽略不计的“细节”。

1.5     特征速度与特征长度

      一个物理问题的特征长度一般就是“作用力程”。对一般的过程，通俗地说，“作用力程”就是作用范围。所谓“力所能及”、所谓“势力范围”都是这个意思。物理上这是一个力场的作用半径；数学上则可以用一个函数的空间变化率的倒数来表征。一般来说，则是一个量在参数空间的“显著”分布。或者说，在某一参数范围内，这个量的数值是值得我们关心的，我们就把这个参数范围称为这个量在参数空间的特征“尺度”。

特征空间尺度经常和特征速度联系在一起。特别是在知道了特征时间之后特征空间尺度就是特征速度乘以特征时间。最典型的例子就是“信息”的传播。

      古时传播消息最快的载体是马——有所谓“八百里加急”，就是在一定的长距离上，设立很多驿站，用换马的方法保持“传播”的速度，延长“传播”的特征距离，“快马加鞭”来传递紧急军情。这时的主要因素是“特征速度”——快马的奔跑速度：一般是每个时辰（两小时）上百公里。所以“八百里加急”这样的重要的消息，其传递“特征时间”也就是几个时辰。而对于国家这样以千里为“特征尺度”的“客体”，以驿马长时间奔跑的平均速度为特征速度，其特征时间则不超过“天”的数量级。

      当然传播信息最快的是电磁波（比如光、无线电、微波），每秒可以传播几十万公里。对于几千、或者万公里这样的特征尺度（比如地球上任意两点间距），信息可以瞬间传播。所以无线电的发明和密码学的发展在上个世纪成为传递军事情报的关键【*】。进入21世纪，信息的传播形式主要是手机和互联网（而且手机、或者比手机更大一点的iPad正在开始成为互联网的主要终端形式）。当然，手机及无线网络都靠微波传播，受到“作用范围”的限制，所以需要微波站。光的传播也是如此。古人利用“烽火”来传递紧急军情，就是对可见光快速传播特性的最早利用。而“烽火台”之间的距离，正是我们所说的“特征尺度”的典型。

【*】可以参看Simon Singh, The Code Book: The Evolution of Secrecy from Mary, Queen of Scots to Quantum Cryptography, Doubleday of New York, 1999

1.6 “熵”——信息的量度

显然，“烽火”与手机通话所携带的信息量有显著的不同。“烽火”只能携带很少的信息——一个或者几个（如果明暗或者燃烧时间长短可以组合的一下的话）。这就像“消息树”——也是一种光信息传递！但是只有两个信息——“平安无事”和“鬼子来了！”而手机的微波信号可以携带的信息量几乎是“海量”——只要微波的频道宽度足够。

那么，这个“信息量”又是如何量度的呢？我们可以借用热力学里的“熵”来定义一个“信息熵”。信息熵越小，信息量越小。如果只是一个单独的周期信号（即单一频率的信号），信息熵就是零。而一个频道里的微波信号可以携带的信息熵就很大。因为在这个频道里可以有很多的频率，并且可以通过频率的调制来携带音频的信号。

具体的定义和计算我们在下一章里介绍。