话说，搞信息融合有一个很风靡的概念 Covariance Intersection （CI），就是搞出来 UKF -- 这个卡尔曼滤波器最成功的变种（除EKF外） -- 的Uhlmann 和 Julier搞出来的，和 UKF几乎是相近的两年（据最早的刊印都在1995-1996，都在其博士论文中有体现，也可见剑桥的博士学位真有水平）提出来的。。UKF和CI都是解决KF所没能解决或者说没有考虑的更一般性的问题，一个是非线性UKF滤波器，一个是未知关联CI融合方法。

问题扎扎实实存在，两个方法都简单到了极限，但是又那么有说服力和好用（人家论文引用也说明了，比如有几个滤波器能达到上万的引用呐？）。 真可谓天才（如果非要在卡尔曼之后搞滤波和估计人中选几个）。。。现在回头看，两个人出道即巅峰！！ 后来可以说一直吃这两碗饭，但这也足够了，能达到这个光辉层次的工作寥寥无几。 尤其是J.K. Uhlmann，迷一样的存在，至今文章不多(多数是会议)，而且一直都不发什么高档次但篇篇有思想。还是一个专业的电影制作人和录音师！！

重点：标准CI仅考虑单目标情形的融合，常规的贝叶斯后验，没考虑漏检、虚警等。

能够跟UKF/CI媲美的可能就是 有限集统计学（finite set statistics，FISST）了，大牛Mahler提出的一套解决多目标跟踪的新理论（也是从1993年默默发会议发到2000年，然后开始不断出现爆款）。。相比UKF和CI这类极度简单思想和套路，FISST就显得恢宏大气，甚至早期的工作拖泥带水般让人难理解。。恰显天才的两种定义，各有千秋各有各的美！

PS：Mahler在2000年对CI扩展到多目标随机集框架下，得到 GCI（generalized CI），现在（提出了13年后）也风靡起来了，这得益于FISST和 线传感网的快速发展......

毕竟是两大宗师接力发展出来的感觉.....

但是我却认为，从单目标贝叶斯后验到含有虚警、漏检的多目标，不能是简单的扩展！不是简单地数学推导从单目标的PDF/density 到 多目标multitarget density这么简单。。还有漏检和虚警，还有不同目标之间的交互呐等这些新问题！非常简单的一个问题：一个目标A的信息和另一个目标B的信息融合的结果算是什么呐？ 一个目标的信息和一个杂波进行融合得到什么呐？  等等

即使CI无可挑剔，但是GCI却还有一个物理意义的鸿沟没有填平，被想当然掩盖了。即使0到1很难，很伟大，但是1到N也可能不是那么简单，甚至可能有更难的问题。

直接完成数学上的推导和扩展，“把多目标后验信息当做单目标后验信息来看”，只是在定义域等问题上扩展一下，从单目标下CI得到多目标的GCI是不靠谱的。会产生很多没有物理意义的东西（比如不同目标之间的信息融合得到什么？）或者说物理上无法解释的现象（近邻的目标会被融合为一个大目标）。。。理论出发点没有错，数学推导和计算也没有错，但是你得解释计算出来的东西是个什么？ 工程既要有数学的装潢，也要有物理的支撑。虽然GCI可能也work，甚至在某些场景表现优异 -- 这些不能说没有问题，因为它在有些场景根本不work，融合结果还不如不融合，证实问题确实存在。

然而，这挡不住爱玩数学的人继续这么玩下去，偏就硬生生的忽略这些物理机理/意义问题......也许CI提出者会说，我原本没有考虑多目标和漏检、虚警问题，问题不在我；GCI提出者说我只是一篇小文章为了推广我的FISST，蹭了一下当初的热点扩展了一些CI...... 

上帝有时候还打盹呐，人类的链条知识传播，也容易走样，变了味（虽然有时候是往更好的方向变了去，众人的力量能够达到超出最初预想的结果）....

下文通过一些直观性的、具体的案例和一些基础的、针对性统计学分析来研究上述的问题。

Second Order Statistics Analysis and Comparison between Arithmetic and Geometric Average Fusion

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1566253518308303

Tiancheng Li, Hongqi Fan, Jesús G. García, Juan M Corchado

(Submitted on 23 Jan 2019)

Two fundamental approaches to information averaging are based on linear and logarithmic combination, yielding the arithmetic average (AA) and geometric average (GA) of the fusing initials, respectively. In the context of multi-sensor target tracking, the two most common formats of data to be fused are random variables and probability density functions, namely v-fusion and f-fusion, respectively. In this work, we analyze and compare the second order statistics (including variance and mean square error) of AA and GA in terms of both v-fusion and f-fusion. The case of weighted Gaussian mixtures representing multitarget densities in the presence of false alarms and missed detections (whose weight sums are not necessarily unit) is also considered, the result of which turns out to be significantly different from that of a single target. In addition to exact derivation, exemplifying analyses and illustrations are also provided..

https://doi.org/10.1016/j.inffus.2019.02.009

Keywords

Multisensor fusion, Average consensus, Distributed tracking, Covariance intersection, Arithmetic mean, Geometric mean, Linear pool, Log-linear pool, Aggregation operator, 

Highlights

Arithmetic averaging (AA) and geometric averaging (GA) are compared

• AA performs better in fusing variables while GA performs better in fusing PDFs
  

• Multitarget density fusion in the presence of false alarms and missed detection is studied.
  

• A hybrid fusion rule is proposed combining AA and GA for multitarget density fusion
  

• GA is comparably more accurate but less robust compared to AA