看过阿凡达的观众对于电影数字技术表现的潘多拉星球奇妙梦幻般的景象都会赞叹不矣，数字技术创造出的场景、人物、故事，从视觉和听觉的角度，完全可以是达到了以假乱真的地步。如果有人给您开玩笑事先告诉您“这是我们的科学家通过量子传递技术将我们的摄制组成员和设备传递到外太空星球‘天狼星’（鲍得海师兄的故乡），进行实地拍摄，并通过量子纠缠技术将视频传递回地球的记录片”，我想我们大多数地球人，至少我不会产生怀疑，那么这个记录片可以作为科学视频数据，其中的新发现，我想在CNS上可以连载很多期，10年内没有人能与电影的制片人争夺诺贝尔各种奖项。

   当然这样的事情不会发生，如果那样做了一定会受到公众的谴责，而且可以说属于科学诈骗。我用这个事例主要想说明数学可以创造神奇，书写神话。二十世纪人类科技进步最伟大的成就应该是IT，借助于IM（Information Manufacture）技术包括CAD、CAE、CAM，工程师用数字计算技术就可以为我们设计和测试各种产品，满足人类对物质无限的贪婪追求，另一方面通过PS、DMT等又为我们展现精神世界或想像中的神界、魔界、未来世界的神奇无比，满足我们的视觉和精神享受。我们应该感谢数学、赞美数学，这一切都源于数学的魔力。数据结构、算法和解释（包括软件和硬件）成就了这一切，虚拟世界不怕做不到，只怕您想不到。

在自然科学的领域，采用数学工具可以实现相关规律精确描述，为科学规律的表达和应用提供便利，实现科学规律的预测功能。但数学公式在科学规律的描述方面，只能处于从属地位，而不能成为规律的主宰，因为同样的数学公式可以用于完全不同的物理事件和对象的描述，并且同一物理事件也可以用不同的数学方法进行处理。因此，数学公式的解对物理规律更具有意义，而不是数学公式所表现的形式，否则我们会其外在的形式所迷惑，甚至被带入迷境。

举一个简单的例子，一个圆周方程X²+Y²=R²，可以用于一个圆环物体的描述，也可以用于一个物体作圆周运动的轨道描述。因此应用于物理规律描述的数学公式，只有当其事件和物理意义完全明确后，才有其真正价值，其解才有相应的意义。

在氢原子中，电子和质子绕质心的平面圆周运动，我们可以选择质心坐标，并且运动平面为XY坐标平面，轨道就可以在XY平面中描述。现在我们进一步假定，氢原子受到了外界的周期性干扰出现了沿轨道法向的振动，XY二维平面是不能满足要求，我们必须引入Z坐标轴通过质心，并与XY正交，这是自然而正常的做法，在XYZ坐标系中，轨道的振动就可以得到完全的描述。除此这种处理方法，还有没有更好的方法呢？其实在数学上我们可以将描述描述振动的Z轴的性质做一个简单的规定，一个Z单位为i并且i²=-1，重新命名为I轴，组成XYI坐标系对事件进行描述。很显然XYZ坐标系与XYI的性质是完全不同，同样的振动事件写出的数学方程形式上肯定不同，同一物理量的数学表达也不会相同（不同的数学规则或操作，也可以叫做算符），但都能对轨道的振动进行同样正确描述。选择XYZ还是XYI坐标，要根据我们需要解决的物理问题在两个坐标系中的数学表达的是否直观简便来决定。

但是如果氢的轨道是任意取向的，轨道就需要XYZ来描述，原则上轨道的法向振动是可以在这个坐标系中得到正确的描述，但可能数学形式上十分复杂难以求解。如果我们此时引入轨道面法向坐标I并符合上述的数学规定，那么XYZI坐标系中，轨道的振动分量可以通过I坐标简便的表达，并且轨道振动方程可能会具有更为简单直观的形式。值得注意的是，I的引入并没有增加物理空间的维数，也就是说电子和质子仍然在三维物理空间中运动，并没有进入虚空间。

有了前面的数学准备，理解氢原子定态薛定谔方程及其解波函数的物理意义就不会深陷迷雾。在我的论文和关于量子的解释的系列博文中，通过氢原子基态轨道共振方程推导，和相关数学变换获得了与目前量子力学中氢原子定态方程完全相同的形式。由基态轨道共振建立的初始方程：

∇²u(x, y, z) + (4π²ε₀ / 2πre² )2T⋅u(x, y, z) = 0          (15)

经变量变换后得：

∇²u(x, y, z) + (4π2μ / h² )2T*u(x, y, z) = 0                   (18)

上述方程就是XYZ坐标系下的波方程，但形式上是没有解析解的，通过驻波节点物理性质，以及物理量与电子相关物理的关系的理解，以及规定将氢原子基态圆周轨道作为基准描述其它共振轨道，所要求的数学条件，经相关变换，上述方程就变换为氢原子定态薛定谔方程的形式：

∇²u(x, y, z) + (8π²μ / h² )(E − V)*u(x, y, z) = 0          (23)

并且：

E = −hυ                                                                      

h =e*(πa₀μ / ε₀)^1/2 = 6.62437 × 10⁻³⁴ JS   

上述数学变换过程改变了数学表达形式，同时也自然也引入了复数来表达基态轨道及其共振。 事实上轨道共振情况下电子和质子仍然在三维空间中运动，并没有进入到根本就不存在的虚空间。

因此对于薛定谔方程的波函数的物理意义，我们不能凭方程的直观形式，以及人为的假定做出虚幻的猜想，应该从有根据的具体的物理模型出发，才不会被其迷惑，避免对电子运动行为做出幽灵般的解释。

相关资料参见：

 关于量子的解释（4）薜定谔方程与普朗克常数；

论文：氢原子电磁辐射与稳定性