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线性光学笔记(17):菲涅耳衍射

已有 8777 次阅读 2013-11-6 02:36 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,菲涅耳衍射,惠更斯原理,傍轴近似| 线性光学, 菲涅耳衍射, 惠更斯原理, 傍轴近似


 
菲涅耳衍射不是一种新的衍射理论,它是索末菲衍射理论在一定条件下的近似。利用第12节中格林函数的导数表达式,索末菲第一衍射公式可以在直角坐标系(如上图所示)下展开为

$U(P_0) = -\frac{1}{2\pi}\iint_\Sigma U(P_1) \left(ik-\frac{1}{r_{01}}\right)\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}\cos\theta\,\mathrm{d} s.$

如果观察点到衍射屏的距离远大于波长( $r_{01}\gg\lambda$ ),则上式中括号内第二项可以忽略,该式可近似为

$U(P_0) = \frac{1}{i\lambda}\iint_\Sigma U(P_1) \frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}\cos\theta\,\mathrm{d} s\\ \qquad\qquad\qquad = \frac{z}{i\lambda}\iint_\Sigma U(P_1) \frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}^2}\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta,$

这便是我们熟悉的惠更斯-菲涅耳原理

下面我们来做进一步近似。我们注意到,如果 $z\gg\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}$ ,我们可以对 $r_{01}$ 的表达式进行二项式展开:

$r_{01} = \sqrt{z^2+(x-\xi)^2+(y-\eta)^2} \\ \qquad= z\sqrt{1+\left(\frac{x-\xi}{z}\right)^2+\left(\frac{y-\eta}{z}\right)^2} \\ \qquad\approx z\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{x-\xi}{z}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{y-\eta}{z}\right)^2\right].$

菲涅耳近似的内容是:在相位中,保留二项式展开的高阶项;在振幅中,仅保留二项式展开的最低阶项。在这种情况下,惠更斯-菲涅耳原理公式变为

$U(x,y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}\iint_{-\infty}^\infty U(\xi,\eta) e^{i\frac{k}{2z}\left[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2\right]}\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta.$

正如之前的索末菲衍射公式一样,上述菲涅耳衍射公式也可以看作场强和脉冲响应的卷积,相应的脉冲响应函数为

$h(x,y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{i\frac{k}{2z}\left(x^2+y^2\right)}.$

菲涅耳衍射公式中脉冲响应的自变量同样只依赖于坐标的差值,因此菲涅耳近似并没有破坏平移不变性。利用第8和第9节中傅里叶变换的性质,我们可以很容易计算出上述脉冲响应的傅里叶变换:

$H(f_X,f_Y) = \mathcal{F}\left\{\frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{i\frac{k}{2z}\left(x^2+y^2\right)}\right\}\\ \qquad = e^{ikz}e^{-i\pi\lambda z\left(f_X^2+f_Y^2\right)}.$

这便是菲涅耳近似下的衍射系统的传递函数。和角谱衍射理论的结果相比较,我们发现上式其实就是角谱衍射理论传递函数在小角度情况下( $|\lambda f_X|\ll 1,\, |\lambda f_Y|\ll 1$ )的近似。因此,菲涅耳近似和傍轴近似是一致的。

另外,将之前的菲涅耳衍射公式相位中的平方项展开,经过简单的变形,可以将该式写为

$U(x,y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{i\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}\iint_{-\infty}^\infty \left[U(\xi,\eta)e^{i\frac{k}{2z}(\xi^2+\eta^2)}\right] e^{-i\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta)}\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta.$

这样,菲涅耳衍射也可以看作是紧邻衍射屏右边的场强乘以一个二次相因子,然后进行傅里叶变换。我们很多时候只关心光强分布,在这种情况下,积分号之前的相位对结果没什么影响。此式和之前得到的菲涅耳衍射公式均可以被称作菲涅耳衍射积分公式。




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1 杨华磊

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