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线性光学笔记(16):角谱衍射理论(三)

已有 7855 次阅读 2013-9-27 22:48 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,角谱,衍射,傅里叶变换,传递函数,脉冲响应| 傅里叶变换, 衍射, 线性光学, 传递函数, 角谱

在第10章我们介绍过,传递函数其实就是脉冲响应的傅里叶变换,因此我们也可以通过直接计算索末菲理论中脉冲响应的傅里叶变换来获得传递函数。为了计算该傅里叶变换,我们需要用到 Weyl 的球面波展开公式(有关 Weyl 公式,可以参考 Mandel 和 Wolf 《光学相干性和量子光学》一书的第3.2.4节。):

$\frac{e^{ikr}}{r} = \frac{ik}{2\pi}\iint^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{\sqrt{1-\alpha^2-\beta^2}}\,\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta,\quad(\alpha^2+\beta^2<1, z>0).$

我们将上式代入第14章中提到的脉冲响应表达式:

$h(P_0;P_1) = -\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{ik}{2\pi}\iint^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{\sqrt{1-\alpha^2-\beta^2}}\,\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta\right)\\ = -\frac{i\lambda}{2\pi}\iint^\infty_{-\infty}\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{e^{i2\pi\left(f_Xx+f_Yy+\frac{z}{\lambda}\sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}\right)}}{\sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}}\right)\,\mathrm{d} f_X\,\mathrm{d} f_Y\\ = \iint^\infty_{-\infty}\left(e^{i2\pi\left(\frac{z}{\lambda}\sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}\right)}\right)e^{i2\pi(f_Xx+f_Yy)}\,\mathrm{d} f_X\,\mathrm{d} f_Y.$

上式中第二步用到了积分号下求微分的技巧。关于积分号下求微分的技巧,可以参考任何一本微积分课本,但是让这个技巧名扬天下的是《别闹了,费曼先生!》一书中费曼的有趣故事。从上式的结果可以得出,脉冲响应的傅里叶变换(也就是传递函数)可以表示为

$H(f_X, f_Y) = e^{i\frac{2\pi}{\lambda}z\sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}}\quad \left(\sqrt{f_X^2+f_Y^2}<\frac{1}{\lambda}\right).$

这个结果和我们从第一种方法(傅里叶展开后直接代入亥姆霍兹方程)得到的结果完全相同,这说明了角谱衍射理论和索末菲衍射理论是完全等效的。

下面总结一下角谱理论中处理衍射问题的步骤

  1. 将入射波乘以代表衍射屏的透射函数(例如狭缝可以用 $\operatorname{rect}(x)$ 函数来表示);

  2. 将上一步的结果用傅里叶变换展开为角谱;

  3. 将每个角谱分量乘以相应的传递函数;

  4. 用傅里叶逆变换获得衍射场。





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