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线性光学笔记(14):角谱衍射理论(一)

已有 9243 次阅读 2013-9-18 02:26 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,衍射,角谱| 衍射, 线性光学, 角谱

在这里,我们将利用线性系统理论,从一个新的角度来处理衍射问题。

我们将格林函数的表达式代入到索末菲第一衍射公式,可以得到

$U(P_0) = -\frac{1}{2\pi}\iint U(P_1) \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}\right)\,\mathrm{d} s_1,$

其中 $P_1$ 点位于紧邻衍射屏的平面内,在透光区域 $U(P_1)$ 的值与没有衍射屏时相同,在阴影区域 $U(P_1)$ 为零。


如果我们令 $z$ 轴正方向指向右边,则衍射屏所在平面到 $P_0$ 点的距离为 $z=z_0-z_1$ 。在直角坐标系下,上式可以表示为

$U(P_0) = -\frac{1}{2\pi}\iint U(P_1) \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}\right)\,\mathrm{d} x_1\,\mathrm{d} y_1,$
其中,

$r_{01} = \sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2+z^2}.$


由于波动方程为线性方程,光的传播满足线性叠加原理,场强 $U$ 从 $P_1$ 到 $P_0$ 点的传播可以看作是一个线性变换。将上式与脉冲响应表达式相比较,可以得出这个线性变换的脉冲响应函数为

$h(P_0;P_1) = -\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}\right).$

根据 $r_{01}$ 的表达式我们可以知道,脉冲响应 $h(P_0;P_1)$ 仅仅依赖于坐标 $x$ 、 $y$ 的差值,因此该线性系统具有平移不变性,是一个 LSI 系统。(请注意,这里的 $z$ 作为一个参数出现,并不是积分自变量,因此它没有破坏平移不变性。)根据我们以前介绍的线性系统理论,LSI 系统的变换性质既可以在坐标空间用脉冲响应来表示,也可以在频率空间用传递函数来表示,而且往往后一种表示方法更简单一些,因为卷积运算被简单的乘法运算代替了。下面我们就来看看如何在频率空间来处理衍射问题,这个问题的核心是如何取得衍射系统的传递函数。

我们将用两种不同的方法来获得衍射系统的传递函数。




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1 杨华磊

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