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线性光学笔记(13):索末菲衍射理论

已有 7295 次阅读 2013-9-10 02:39 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,衍射,索末菲理论| 衍射, 线性光学, 索末菲理论


上一章讲到的基尔霍夫衍射理论,和实验事实符合的很好,但是它却包含一些缺陷。首先,基尔霍夫边条件假设小孔处场强不受衍射屏的影响,这是不严谨的。然而,这不是太严重的问题,因为当小孔尺寸明显大于光波长时,衍射屏的影响可以忽略。基尔霍夫理论的主要问题在于,它要求在不透光的阴影区域,场强 $U$ 及其方向导数 $\partial U/\partial n$ 同时为零。根据复变函数理论,如果该条件得到满足,则函数 $U$ 在整个衍射屏平面乃至整个空间均为零,这显然和物理事实不符。为了克服这个不自洽的问题,索末菲使用了不同的格林函数。假设在衍射屏另一边和 $P_0$ 点对称的位置有另一个点源 $\tilde{P}_0$ (如上图),如果 $\tilde{P}_0$ 和 $P_0$ 反相,则格林函数为

$G_- = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}-\frac{e^{ik\tilde{r}_{01}}}{\tilde{r}_{01}}\right),$

如果 $\tilde{P}_0$ 和 $P_0$ 同相,则格林函数为

$G_+ = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}}+\frac{e^{ik\tilde{r}_{01}}}{\tilde{r}_{01}}\right).$

这就是我们熟悉的镜像法。由于增加了一个点源,这里的格林函数和之前基尔霍夫理论中的格林函数满足的方程不完全相同。但是,如果我们把积分区域限定在衍射屏的右边,由于镜像点源并不影响右边区域内的源的分布,因此该区域内的解不会随我们选择的格林函数的不同而发生变化。

当点 $P_1$ 位于衍射屏平面内时,

$G_-(P_1)=0,\\ G_+(P_1)=2G(P_1),\\ \frac{\partial G_-(P_1)}{\partial n}=2\frac{\partial G(P_1)}{\partial n},\\ \frac{\partial G_+(P_1)}{\partial n}=0,$

这里 $G$ 是基尔霍夫理论中的格林函数。根据上面各式及基尔霍夫理论的衍射公式,如果我们使用格林函数 $G_-$ ,则得到 $P_0$ 点场强

$U_I(P_0) = -\iint_\Sigma U \frac{\partial G_-}{\partial n}\ud s_1 = -2\iint_\Sigma U \frac{\partial G}{\partial n}\ud s_1;$

如果我们使用格林函数 $G_+$ ,则得到 $P_0$ 点场强

$U_{II}(P_0) = \iint_\Sigma G_+ \frac{\partial U}{\partial n}\ud s_1 = 2\iint_\Sigma G \frac{\partial U}{\partial n}\ud s_1.$

与基尔霍夫理论不同,这里我们只需要知道 $U$ 和 $\partial U/\partial n$ 其中之一,便可以计算衍射场强。

通过比较基尔霍夫衍射公式和上面两式,我们会很快发现,基尔霍夫衍射公式其实就是索末菲第一和第二衍射公式的算术平均。



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