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线性光学笔记(1):电磁波的标量理论

已有 6538 次阅读 2013-4-30 11:41 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,电磁波,标量理论| 电磁波, 线性光学, 标量理论

光是一种电磁波,因此光的运动遵循麦克斯韦方程组。在无源(没有自由电荷或者电流)的情况下,麦克斯韦方程组可以写作:

$\begin{split} \nabla\times\vec{E} & = -\mu\frac{\partial\vec{H}}{\partial t} \\ \nabla\times\vec{H} & = \epsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\epsilon\vec{E} & = 0 \\ \nabla\cdot\mu\vec{H} & = 0. \end{split}$ $\begin{align} \nabla\times\vec{E} & = -\mu\frac{\partial\vec{H}}{\partial t} \nonumber \\ \nabla\times\vec{H} & = \epsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \nonumber \\ \nabla\cdot\epsilon\vec{E} & = 0 \nonumber \\ \nabla\cdot\mu\vec{H} & = 0. \nonumber \end{align}$

如果光的传播介质是各向同性的线性均匀介质,并且无色散,我们可以对前两式使用 $\nabla\times$ 算符并利用矢量恒等式

$\nabla\times(\nabla\times\vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{A}) - \nabla^2\vec{A}$
得到电场强度 $\vec{E}$ 和磁场强度 $\vec{H}$ 满足同样的波动方程:

$\begin{align} \nabla^2\vec{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} & = 0 \nonumber \\ \nabla^2\vec{H}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2} & = 0, \nonumber \end{align}$

这里的 $n=\sqrt{\epsilon/\epsilon_0}$ 是折射率, $c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$ 是真空中光速。

由于矢量 $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 的各个分量均满足同一方程,我们可以把复杂的矢量问题简化为标量问题,通过求解标量方程

$\nabla^2 u-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0$

得到问题的解。这里的 $u$ 代表 $\vec{E}$ 或 $\vec{H}$ 的任一分量。基于标量分析的理论,就是电磁波的标量理论。标量理论是一种近似理论。可以使用标量理论的前提,就是前面提到的条件:介质必须是各向同性、线性、均匀、非色散的

细心读者会发现,其实不仅是 $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ ,在洛伦兹规范下,电磁场的矢势和标势也同样满足上面形式的方程。



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