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空间群实战分析(三)

已有 1127 次阅读 2018-12-31 01:06 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记

空间群实战分析(一):从 1 号到 7 号空间群

空间群实战分析(二):从 8 号到 34 号空间群

31. 第 35 号空间群 Cmm2

正交晶系,且第一个字母 C,标记了底心正交结构。全部对称操作为:

1.fw.png

除了 m,m,2 三个对称操作以外,尚有向与 c 轴垂直的底面面心位置平移的对称操作。


32. 第 36 号空间群 Cmc21

全部对称操作为:

2.fw.png

沿 a 轴方向的对称元素 m 产生了原子坐标 (2)。沿 b 轴方向的 c 类滑移面产生了原子坐标 (3)。最后,c 方向的螺旋轴导致了原子坐标 (4)。最后增加向底心平移的操作,全部对称元素都很简单。


这里略微提一下非标准形式。由于正交晶系三个底面都有可能对应底心的对称元素,而且镜像反演跟滑移面的先后次序也可以颠倒,所以该空间群的非标准形式较多,还包含 C c m 21B b 21 mB m 21 bA 21 m a A 21 a m 几种以 A 21 a m 为例,其对称操作变为

A21am.fw.png

按照次序,原子坐标 (2),(3) 和 (4) 分别对应 a 轴方向上的对称操作 21,b 轴方向上的对称操作 a 以及 c 轴方向上的对称操作 m。当然,由于第一个字母是 A,底心平移操作是平移到与 a 轴垂直的底心位置。


33. 第 37 号空间群 Ccc2 至 第 41 号空间群 Aea2 (Aba2)

其中包括第 37 号 Ccc2,第 38 号 Amm2,第 39 号 Aem2,第 40 号 Ama2 以及 第 41 号空间群 Aea2,其对称操作均非常容易推导,只需要在前面对于的简单正交的基础上增加对底心位置的平移操作即可。

但这里需要特别提一下第 39 号空间群 Aem2 与第 41 号空间群 Aea2,因为在 1995 年之前它们的名字分别叫 Abm2 和 Aba2。第 41 号空间群的全部对称操作为:

Aea2.fw.png

可见原子坐标 (2), (3), (4) 分别对应对称操作 b,a,2,注意互相滑移导致了 a,b 方向镜面的位置都在 1/4 处。但是由于与 a 轴垂直的平面上还对应一个底心,国际表后来将 a 方向的滑移面 b 改名为滑移面 e,因此现在正确的叫法是 Aea2 而不再是 Aba2 了。


34. 第 42 号空间群 Fmm2

这个空间群非常简单,只需要注意 F 代表向三个面心平移的操作即可。

aa.fw.png


35. 第 43 号空间群 Fdd2

这是第一个标准形式就含有 d 类滑移面的空间群,而 d 类滑移面意味着镜面反演以后同时向三个方向滑移 1/4。对称操作为:

Fdd2.fw.png

三个对称操作 d,d,2 分别产生了原子坐标 (2),(3) 和 (4)。


36. 第 44 号空间群 Imm2 至 第 46 号空间群 Ima2

还包括第 45 号空间群 Iba2,它们除了包含向体心位置平移的对称操作以外,跟前面对应的空间群分析没有差别。以第 45 号空间群 Iba2 为例,全部对称操作为:

Iba2.fw.png

初看上去,似乎对称操作全部错乱了,实际是因为体心平移的缘故。例如第一个 b 操作,应该是 (x, y, z) → (1/2-x, y+1/2, z),但都不匹配。实际上它只不过对应原子坐标 (2) 搭配 (1/2, 1/2, 1/2) 的平移而已。


37. 第 47 号空间群 Pmmm

全称是 P 2/m 2/m 2/m。我们第一次遇到了 mmm 点群,它对应的熊夫利记号是 D2h。这个点群并非只对应三个方向上的镜面反演,而是进一步蕴含了 222 点群对称性。换句话说,mmm 一定含有 222,但是 222 未必含有 mmm 的对称性。证明如下,根据 b 和 c 方向上的镜面反演可以得到沿着 a 轴的 2 重旋转对称性:(x, y, z) → (x, -y, z) → (x, -y, -z)。此外,mmm 对称性还蕴含了关于原点的空间反演对称性,只需要连续作用三个方向上的镜面反演即可。全部对称操作如下:

Pmmm.fw.png

读者可以只从三个 m 操作出发,试着推导全部的对称操作。


38. 第 48 号空间群 Pnnn

全称是 P 2/n 2/n 2/nPmmm 类似,但是镜面反演变成了 n 类滑移面,而且镜面的位置也改为 1/4 处。全部对称操作为:

Pnnn.fw.png

可见原子坐标 (2),(3),(4) 分别对应三个 n 对称操作。但是对称操作 (1)-(4) 并不封闭,例如 (2) 和 (3) 产生 (8);(2) 和 (4) 产生 (7);(3) 和 (4) 产生 (6);(4) 和 (8) 产生 (5)。

该空间群视原点的位置不同,还可以有另外一类对称操作:

nnn2.fw.png

三个 2/n 的旋转加滑移操作分别导致了原子坐标 (6),(7) 和 (8),并根据群乘法得出其他对称操作。


39. 第 49 号空间群 Pccm

全称是 P 2/c 2/c 2/m三个方向上分别对应两个 c 类滑移面以及普通镜面反演,前四个对称操作容易写出,再通过群乘法得出所有对称操作元素:

Pccm.fw.png

容易看出连续施行对称操作 (2),(3),(4) 就可以得到空间反演 (5)。对 (2),(3),(4) 施加空间反演即可得 (6),(7),(8)。

如果将 a 轴的对称操作首先理解为 2/c 的话(旋转以后沿 c 轴滑移),就可以先写出原子坐标 (6),余下的推导过程类似。


40. 第 50 号空间群 Pban

全称是 P 2/b 2/a 2/n。所有对称操作元素:

Pban.fw.png

可见沿垂直 a 轴的平面反演,再沿着 b 轴滑移(b),就产生了原子坐标 (2)。注意因为存在 a 类滑移面,所以反演的时候镜面位于 x = 1/4 处。b 方向的对称操作(a)导致了原子坐标 (3)。而 c 方向的对称元素 n 就直接翻译为原子坐标 (4)。根据群乘法可以推导出其他对称操作。



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