本科生科研指南（49）：相似条件

张宇宁

华北电力大学（北京）

相似原理和量纲分析在流体力学领域中有着广泛的应用，尤其是对于解决一些复杂的工程问题有很大的帮助。对于满足相似条件的流动，我们可以方便地采用相似原理进行模型试验的设计，并能够通过准确测量模型的物理参数进一步推导出原型所对应的重要物理参数，极大地节省了成本。在具体使用相似原理进行试验设计之前，同学们应该从数学和物理的角度对相似原理进行深入的学习，这样后续在使用的过程中才能准确把握、灵活运用。值得一提的是，这些深入的理解对于科学研究和解决工程问题均非常重要。在真实的工程问题中，相关的物理参数经常无法严格地满足理论上的相似条件。此时，问题的有效解决需要同学们在对相似条件扎实掌握的基础之上，较为全面的评估并抓住问题的关键。本期，我们从控制流体运动的微分方程及其定解条件的视角去审视流动相似条件的本质特征。

一方面，描述相似流动的微分方程必须是相同的。微分方程是控制流体流动及其规律的内在核心因素，也是后续对流动进行求解的主要研究对象。因此，两个流动必须是由同一个或者同一组微分方程来描述才可能是相似流动。具体而言，我们通过三个不同角度的例子进行说明。

1.        非连续介质。在日常生活中，我们看到的大部分流体一般都可以看成是连续介质，即其物理量（诸如，密度、压力、速度等等）是空间和时间的连续函数。但对于高空以及太空中存在的非常稀薄的、接近真空的流动而言，其分子密度异常的低，需要更多地考虑气体分子的运动特性。因此，描述上述两种流动的微分方程完全不同，不是相似流动。

2.        非牛顿流体。对比蜂蜜和水的流动，我们会发现二者无论是流动状态还是流动速度上均有很大的不同，不是相似的流动。究其原因，描述二者粘性等物理参数的方程（即本构方程）非常不同。水是典型的牛顿流体，应力和应变成简单的线性关系。而蜂蜜则不同，应力和应变呈现出较为复杂的性质，即非牛顿流体特性。

3.        主导作用力。流体受到的力包括重力、压力、粘性力等等，部分特殊流体还受到电磁力等等的作用。对于同样的流体介质，主导流动的作用力可能非常不同。例如，对于水库大坝泄水时的流动，主要是受重力驱动的，其他作用力的影响较小。而对于狭窄管道内的流动，粘性力则起到重要的作用，不可忽略。当流体通过输送管道进行运输时，经常需要对流体进行加压，使其具有较大的压强，这样通过压力差进行输运。因此在有压管道流动中，压差力和粘性力均较为重要。

另一方面，描述相似流动的微分方程的定解条件必须是相似的。微分方程确定后，需要补充若干条件才能够求解。不同类型的方程所需要的定解条件不同，大致可以分为以下两类。

1.        边界条件。简而言之，便是在边界上流体需要满足的条件。例如，在一维的管道流动中（即只考虑流体沿着管道方向的流动），在管道的壁面处，流体的速度在宏观流动的研究中一般设置为0（即无滑移边界条件）。再比如，在管道的入口处，流体的速度可以是给定的均匀来流。

2.        初始条件。当流体是非定常流动时，需要先给定流体的初始流动状态（又称为初始条件），这样方程才能够有确定的解。

一般而言，流动相似意味着描述流体流动中重要的、起主导作用的无量纲准则数是相同的。部分情况下，微分方程包含了描述流体流动的无量纲准则数。例如，在粘性流体的运动微分方程中，雷诺数已在与粘性力有关的项中有所表述。因此，微分方程相同，则雷诺数相等。

微分方程确定后，加上补充的定解条件，流体的流动便可以通过求解该方程进行唯一的确定。当两个流动的微分方程相同、定解条件相似，则这两个流动便是相似的。在后续的分析中，我们可以利用相似准则数相等构建模型与原型参数间的对应关系式，从而达到解决科学和工程问题的目的。