1.什么是伯努利试验？

伯努利试验是一种随机试验，并同时满足：

1）结果仅两个（成功、不成功）。

2）概率固定。成功（p），自然不成功（1-p）。

3）试验独立。

2. 问题

次试验，恰好成功次的概率。

注：

3. 推导

设满足次成功一个特定序列，譬如：

所以，

个位置，选择个放成功，其余放失败，即组合数次，

无需排版时，记为

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^{n-k}

4. 用二项式定理证明：

证：

5. 反直觉的买彩票

买彩票的中奖率为十万分之一(0.00001)，买五万(50000)张彩票，至少中奖两次的概率是多少？

解：

不到10%的中奖概率。

6. 从伯努利分布到正态分布

组合数是两头小，中间大；这个也是两头小，中间大。根据Do Moivre-Laplace定理，当，伯努利分布趋向于正态分布（推导过程较复杂，涉及阶乘用Sterling公式处理和对数函数的泰勒展开）。

7. 从伯努利分布到泊松分布

泊松分布是伯努利分布的特例，考虑，，且，满足这样三个条件，我们看看最后是什么样子的。

考虑 ，

那么，

当时，

令，当时，

根据第二个重要极限，，所以；

又考虑到

8. 反直觉的抛硬币

抛10次硬币，恰好出现5次正面朝上的概率是多少？

不是你直觉的0.5哦。

9. 反直觉的游戏

一个赢面是10%的赌局，玩十次可以保证赢一次吗？玩多少把可以大概率（95%）赢一次？

十次都输：

不是十次皆输=赢过至少一次：1-0.3478 = 0.6513

不是百分百。

那么玩多少把可以大概率赢一次？

不能每把都输，则：

解出来

10. 做实验一般应该多少个重复，这样会让人安心？

根据置信度（）的定义：

其中：绝对误差；：标准差；样本数；置信度。

通过引入相对误差和变异系数进行标准化：

得到：

常规地，95%水平对应的，如果取你能接受的相对误差是10%，那么需要的重复样本数即为：

和对应的表格如下

再生态学上，数据的变异常常不算小，正态分布的情况下，一般35个重复比较安心。