巴比塔、普遍语言与哥德尔定理的句法特征——读哥德尔之八

终于看完了全部导言，这个哥德尔原著的1962年英译本，总共不到70页文稿，而导读性的前言和导言就占了近30页。哥德尔的原著英译本内容呢，则从37页开始，到67页结束，也是近30页。导读导言和原著文本，几乎就是各占书中一半文字江山，有点意思。

导言看完，在继续理解哥德尔之际，思路却似乎没有聚焦到哥的理论，而是发散展开，想到了语言，想到了和语言相关的那个巴比塔。

艾舍尔画的巴比塔

圣经中的巴比塔

圣经中的巴比塔传说

一、圣经中的巴比塔

早年接触哥德尔的时候，知道哥德尔用德文写的论文，连英文也就只是麻麻的，这看德文原著自然就是一个空想。不过我们这辈人，恰逢两代人的改革开放，看着国内学子眼界渐开，也看着大英帝国越变越小。不列颠的脱欧，势必还要导致原来联合王国的诸邦继续脱离，继续变小。但英国人的语言，却因为那个链接整个世界的网络，几乎就成为科学和知识的第一语言。

这个世界，谁才是至尊？认可度较高的，似乎只有上帝才是这个世界的至尊。但这个世界总会给你一些奇怪的认知，人们使用的语言这东西，竟然连上帝都害怕。你看，《圣经.旧约.创世纪》的第11章，讲了一个巴比塔的故事,还真的是上帝（耶和华，LORD）在害怕那个共通性的语言呢。在上帝之上，还有一个共通的语言在让上帝担忧。我在此转录一下这个故事，然后再回归到读哥德尔的主题上来。

有趣的是，这个转录还是在表明英文的厉害，英国在越变越小，英语却无处不在。圣经中的巴比塔故事，不是德文，不是拉丁文，也不是别的什么语言，这世界上发行量最大的圣经，中文版的圣经，依然是从英语转译过来的。

中文本：

《圣经.旧约.创世纪》第11章

11:1 那时，天下人的口音，言语，都是一样。

11:2 他们往东边迁移的时候，在示拿地遇见一片平原，就住在那里。

11:3 他们彼此商量说，来吧，我们要作砖，把砖烧透了。他们就拿砖当石头，又拿石漆当灰泥。

11:4 他们说， 来吧， 我们要建造一座城和一座塔， 塔顶通天， 为要传扬我们的名， 免得我们分散在全地上。

11:5 耶和华降临， 要看看世人所建造的城和塔。

11:6 耶和华说， 看哪， 他们成为一样的人民，都是一样的语言， 如今既作起这事来， 以后他们所要作的事就没有不成就的了。

11:7 我们下去，在那里变乱他们的口音，使他们的言语彼此不通。

11:8 于是，耶和华使他们从那里分散在全地上。 他们就停工， 不造那城了。

11:9 因为耶和华在那里变乱天下人的言语， 使众人分散在全地上，所以那城名叫巴别。

英文原本：

11:1 And the whole earth was of one language, and of one speech.

11:2 And it came to pass, as they journeyed from the east, that they found a plain in the land of Shinar; and they dwelt there.

11:3 And they said one to another, Go to, let us make brick, and burn them thoroughly, And they had brick for stone, and slime had they for morter.

11:4 And they said, Go to, let us build us a city and a tower, whose top may reach unto heaven; and let us make a name, lest we be scattered abroad upon the face of the whole earth.

11:5 And the LORD came down to see the city and the tower, which the children of men builded.

11:6 And the LORD said, Behold, the people is one, and they have all one language; and this they begin to do: and now nothing will be restrained from them, which they have imagined to do.

11:7 Go to, let us go down, and there confound their language, that they may not understand one another’s speech.

11:8 So, the LORD scattered them abroad from thence upon the face of all the earth;and they left off to build the city.

11:9 Therefore is the name of it called Babel; because the LORD did there confound the language of all the earth; and from thence did the LORD scatter them abroad upon the face of all the earth.

二、在现代，自然语言之外又多了无数人工语言，超越语言的元语言，计算机语言等

人类因一种共通的语言联合起来，去兴建通往天堂的高塔。而上帝呢，竟然还害怕这个共通的语言，因为这让天下人去做的事情，几乎就没有做不成的（第11.6)。想想看，这的确有点可怕，没有做不成的事，这样的事情自然要包括善事，也要包括恶行。历史上无数的杀戮、征服、霸凌，告诉我们的历史，真是一部充满血腥的恶行史。

天下人齐建巴比塔的壮举，据圣经研究者考证的一种说法，约在公元前的4000年左右，至今6000余年矣。巴比塔似乎没有建成，这个全地（all the earth）的人群因为语言的打乱，再也不能联合了。自巴比塔停建之后，地球分为五大洲，再分为几百个国家或者地区。一直到20世纪中期，才有个乌合零散的联合国。可各个分群首脑的利益，却在成为分散各族的标志，似乎再也没有可能出现重建巴比塔的上古豪情了。

不过，欧洲启蒙时代带给人们观念上的修正，却让共通语言的想法悄然再次来到人间。既然有比上帝的至尊还要至尊的语言，这样的语言，为什么就不可以去尝试尝试呢？

科学家似乎有点与耶和华（LORD）过不去，但这并没有让人们失去对于上帝的敬畏。

普遍语言的想法最先从莱布尼兹开始。这个想法成就了后来的现代逻辑，似乎也成就了后来的计算机科学。从语言的角度看，科学家和学者对于科学与学术的研究，丰富了各自族群的自然语言。却于不经意之间产生了许多不同于自然语言的人工语言，并在对于语言更为开放的理解之下，建立起信息交换的信息论科学。在哥德尔的研究中，哥德尔的不可判定性定理所依据的第一个基础，依照R.B.B在前言中的描述，首先就是元数学理论，而用来表达元数学所使用的语言，自然就是元语言。

除了元数学的元语言，计算机科学也产生许多用来理解计算机，也理解人对计算机操作的语言，这就是在计算机科学领域产生的各种计算机语言。仅以计算机的编程语言为例，大概就有数不清的种类，大类可以陈述如下：

这大概是上帝的威风在发挥作用，科学家和学者意图建立共通的普遍语言，但这种宏大叙事的结果不是具有统一的语言，而是产生越来越多，数不胜数的语言。上帝有点不高兴了，你想建立统一的语言，我就让你的语言多不胜多。好在我们处在一个不是需要更多通才，实际上今天的世界，已经不大可能出现所谓全知全能的通才，你只可能知晓这大千世界中的点点滴滴而已。这是一个需要更多专才的时代，一个知道追求，也知道舍弃，你才可能从容应对的时代。

这样，我们就从对于语言的评论回到哥德尔的主题上来。R.B.B导言的最后一部分，其实也是关于语言的，他讨论哥德尔证明中的句法特征。而句法特征，这不就是典型的语言学术语么？

三、哥德尔定理的句法特征。

哥德尔英译原著中，由R.B.B撰写的导言最后一部分，R.B.B阐述他多次提出过的观点，即哥德尔的两个伟大定理是关于演算（他的形式系统P）的元数学定理，而不是关于演绎系统自身的定理,演绎系统只是演算的一种解释。但是，关于演绎系统的定理是直接的推论。关于其算术系统内存在着既不是可证，又不是不可证的算术命题陈述，对于演算P所代表的算术演绎系统而言，只是一个推论，一个有关P“不可证性”定理的推论。

（一）S内某些算术命题的不可判定性，可以归类在系统S的句法上的元数学特征中

为要理解这一点，请考虑公式v Gen r（v），其不可判定性（当然，需先假设P为“ѡ一致”）是由“不可证性”定理的证明建立的。将类符号r（v）解释为这样一类字符串的G数类，即不是p（Gp）的“证明”。以元数学方式指定的这类数字，可以通过修正的算术化，即对于哥德尔定义1至45提供的公式系列，公式，证明，的修正的算术化从算术上来指定。因此，如果将相对于v的“普遍化”r（v）解释为表达了：由r（v）表示的数字类别是全称类，则公式v Gen r（v）将被解释为表示了以下命题：

每一个数都是某个算术指定类的成员——一个直接的算术命题（称之为g）。

如果演算P（假定为“ѡ一致”）被解释为表达算术的演绎系统S，该系统被设计为其目的是可以代表算术所需的《数学原理》演绎系统的一部分，并且这个演算P还有S中的公理和推论规则来表述的P公理和P推论规则（并且这种解释允许v Gen r（v）解释为表示算术命题g），那么，g将通过S中可行的证明方法，成为既不是可证，也不是不可证，即g或Not g都不是S的一个定理。在文本的第3节中，哥德尔在更严格的意义上使用算术，并确定即使在这个受限的意义上，S中也存在无法判定的算术命题。P中v Gen r（v）的不可判定性（“不可证性”与 “并非不可证性”）被转移到用P表示的演绎系统S上，从而得出S内g的不可判定性（不可证性和并非不可证性）。类似地，有关P‘一致性’（假定为'一致'）的P中‘不可证性’转移到S上，由此而产生有关S一致性的S之内不可证。

演绎系统S内某些算术命题的不可判定性，可以归类在系统S的句法上的元数学特征（

由演算P表示）之中。因为这样一种原因：这种不可判定性源自演算P中代表S的某些公式的不可判定性。与演算不同，演绎系统还具有语义上的元数学特征；特别是它们的命题具有或不具有成真的语义特性——哥德尔在其导论第1节中称其为“关于内容是正确的”。通过使S中可证的每个命题（即S的每个公理和定理）为真，将可证的句法属性与成真的语义属性联系起来——再加上g为真，为g在S中的不可判定性提供了额外的动力。

被修正算术化影响的算术和元数学命题的相关，保证了：当且仅当v Gen v（r）在P内“不可证”，即当且仅当g在S内不可证时，g才为真。因此，若g为不真，则g在S内可证，由此，g又为真，这自然是一个矛盾。因此，如果表达算术的演绎系统S的公理和定理为真（这意味着S的一致性，因为两个命题p和Not p不可能都为真，否则，这两个命题p和Not p都将是S的定理），那么就有一个算术命题，即g，它在S中不可证，这是句法特征，但仍然为真，这是语义特征。这种元数学论证结合了语义学和句法学的考虑，确立了算术命题的真，但这种命题在S之内不可能得到证明。

（二）仅在哥德尔原著文本第1节导论中，语义学与句法学的考虑有交织

在哥德尔原著文本第1节导论中，哥德尔将语义学与句法学的考虑交织在一起，从而勾勒出g的不可判定性的证明。直到一两年后，语法和语义之间才有了清晰的区分（通过塔尔斯基，他的工作包括严格建立语义上的不可证明性定理）；但它隐含在哥德尔在第1节末尾做出的评论之中：“接下来出现的[g的不可判定性]证明的精确陈述，其中的任务是在替换这些假设中[每个可证明的公式就内容而言也是正确的]的第二个假设的任务之中，有一个纯粹形式的而又非常之弱的假设。”。哥德尔在第二节中的证明是关于演算（形式系统P）的纯粹句法证明，严格来说，其对于算术所作的演绎系统的解释与其论证没有关系。的确，哥德尔将算术解释为一种将算术中的字符串与自然数进行协调的方式，并用自然数来讨论递归函数（在这两种语境条件下，R.B.B都跟着哥德尔讲数字）。但是，每当哥德尔谈论数字，并因此而做出一些评论之时，这些评论表面看来，只是关于演绎系统而不是演算的评论，但这些评论始终是关于演绎系统的句法评论。因此，从本质上讲，都是对表达这个系统的演算所作的评论。例如，当哥德尔在第二节的开头说，他的形式系统P具有“作为个体的数字”，并说“第一类型变量（对于个体，即包括0的自然数）”时，所有与他的论证有关的东西就是，数字是他的第一类型变量唯一允许的替换值（不包含变元）。当哥德尔与他的“公理模式” III关联指定替代操作时，这一点最清楚地显示出来，它需要用第一类型的符号替换第一类型的变元，他先前已将其解释为“以下形式的符号的组合：a，.fa，.ffa，fffa，等等，其中a或者是“0”或者是第一类型的变元。

实际上，哥德尔对元数学概念的“算术化”（以及R.B.B的“修正算术化”）是通过将每个字符串x与另一个数字字符串相关联来实现的：无需通过间接途径将字符串x传递给该数字,这一间接途径中的间接表现为，首先移动到x的哥德尔数（或G数），然后从该数字传递到在演算P中表示它的那个数字。在这个论证中，例如，关于P的元数学命题之间的等价性，在谈这个等价性之前，先来说明一下这个P。P指的是那个陈述了以下两件事情的系统，一是陈述了公式系列的字符串n是字符串，也就是公式y的一个证明,二是陈述了一种算术关系，一种G数n和这些字符串的y之间的关系。关于P的元数学命题之间的等价性，可以平等地被解释为另一种等价，一种元数学命题和作为P的一个定理（也就是P中的一个可证公式）而出现之间的一种等价，而这个P则是一个合适的递归算术公式f的P,而这个f含有字符串Gn和Gy。[这个f应该是“递归的”要求，这可以确保，如果f不是P的一个“定理”，则Neg f是。]“不可证性”定理的“递归”类符号r（v）的特殊性是，如果存在一个字符串n，它是v Gen r（v）的“证明”，“递归”“算术”公式Neg r（Gn）将作为P的一个“定理”同时也作为落在公理模式III的公式和v Gen r（v）的“直接后承”出现。换句话说，如果有v Gen r（v）是一个“定理”（由“证明” n推导），那么由于演算内部的原因，r（Gn）也将是一个“定理”，而Neg r（ Gn）之所以会是一个'定理'，是因为它是一个'递归'公式，根据'修正的算术化'，它的出现为'定理'等价于n是v Gen r（v）的一个证明 。

    （三）哥德尔在其文本中提出的所有形式论证都是句法上的

在上一段中，哥德尔的“不可证明性”定理的部分证明已经用演算P中使用的术语或用来描述P特征的句法术语进行了重申，我在“递归”，“算术”，“算术化”，“修正算术化”等术语周围加上了单引号。表示这些词（例如“定理”，“证明”，“可证明”等）被用作演算术语而不是演绎系统术语。哥德尔在其文本中提出的所有形式论点都是句法上的：他把元数学看作为算术，而不仅仅是“算术化”，这纯粹是出于说明的方便。因为他的算术是基于递归算术概念，根据他的命题V，关于数字之间是否存在递归算术关系的问题等价于关于两个含有数字的递归公式中，也就是形式为f和Neg f，分别为演算P的一个“定理”的两个公式，是否等价于句法的问题。

哥德尔的两个伟大定理是关于其演算P的定理：他们断言某些P的合式公式在P中的“不可证性”（假设P分别为“ѡ-一致”或“一致”）。当然，对演算P的学术世界感兴趣的是，它可以被认为是为算术表述了一种演绎系统，因此，在算术中存在不可判定的算术命题。尽管哥德尔的形式证明仅适用于P，但他指出，类似的证明将适用于满足两个非常普遍的条件的任意演算，这些条件是如此普遍，以至于任何能够表达算术的演算都很难不满足它们。因此，哥德尔的这篇论文宣告了这一论点，该论点已经通过哥德尔之后的元数学家的工作得到澄清和证实。没有任何演算可以用这样的方式来设计，其中的每个算术命题都用这样的一个公式来表述，这个公式在该演算之内或者“可证”或者“不可证”，因此，任何用于算术的无论什么演绎系统都将具有以下普遍的句法特征：不含有对于任意算术命题的或者是一个证明，或者是该命题的一个反证。

这种有关算术的句法事实有时通过如下说法来描述，那就是，算术在其本质上，是不完全的。这一不完全性的哥德尔发现，发表在他这篇论文中，应该是本世纪的知识成就中，最伟大，也是最令人惊讶的发现之一。