不完全性定理 元数学和自然数_开读哥德尔原著第一章——哥德尔读后之十

把R.B.B的导论弄完，终于轮到读哥德尔原著的英译文本了，今天开读原著的第一章。R.B.B的导言给了人很多哥德尔定理的背景知识，但背景知识代替不了原著。抚卷细读，九十年前，一个二十出头的年轻人，喜欢安定，喜欢精确，好像也很较真（见王浩著《哥德尔》），更好像有点超越实在。可就是这个不起眼的家伙，却发现了两个重要的逻辑与数学奉献中隐含着的元数学问题。

年轻时的哥德尔彩照

哥德尔黑白照

以上提及到的两个逻辑与数学奉献，一个就是罗素-怀特海的《数学原理》中表述的PM系统，另一个则是策梅洛-弗兰克尔的ZFC公理集合系统。而那著名的元数学问题，则是哥德尔1930年的《PM及有关系统中的形式不可判定命题》论文中，他所论证的两个元数学定理：一个称之为哥德尔第一不完全性定理，另一个称之为哥德尔第二不完全性定理。按照哥德尔唯一的中国学生王宪钧先生在其《数理逻辑引论》一书的说法，

第一不完全性定理说的是：

一个包括初等数论的形式系统P，如果它是一致的，那么它就是不完全的。

第二不完全性定理说的是：

如果一个系统是一致的，那么这个系统的一致性在该系统中不可证。

（参见王宪钧《数理逻辑引论》第333页）

策梅洛照片（1871-1953）

在我们这个时兴实用，时兴经验，更讲究话语权的时代，哥德尔的研究似乎一条都不沾边。上个世纪30年代做逻辑和做数学的人，和现时代做同样研究的人大概颇有类比之处。这个世界有用的东西多了去了，哪里轮得上这个不食人间烟火的所谓基础性研究来供人选择？不过话又说回来，个人对人生路途的选择，似乎全由偶然中的某个瞬间来定。那里也许有上帝的呼唤，也许有个人灵性的导引，更实在一点，也许出于生计的，也许出于感情的，也许出于趣味的。至于其它那些看着就像假大空的超级动机，那就天知地知你知我知，不用我赘言了。

闲言少叙，我还是回到这个开始细读的哥德尔文本上来。年轻让人羡慕，这是经验世界的常规情感，年轻而让人敬畏，则肯定超越常规。哥德尔原著文本那错综复杂的符号关系，看得人眼花缭乱，但无数智者为之所倾倒。自然是该如《诗经》小雅所言：

高山仰止，景行行止。

我辈跟读，就因那敬畏向往之心而作也。依然离不开对于那个三的依恋，且分三个部分来解读哥德尔原著英译的第一章。

一、数学在精确方向上的发展，可以归约为：用少数几个公理和规则，就足以断定所有那些可形式上被表达的命题。这个断定是真的么？哥德尔答：事实并非如此。

哥德尔文本第一章的第一段就开宗明义，导出他要面对的问题，也就是：数学的发展似乎最后都要归约到用几个公理和推理规则，就足以断定所有可被形式上表达的数学问题。

哥德尔答复的原话则是：事实并非如此。

哥德尔说：

“数学在更为精确方向上的发展，如众所周知的，导致它很大范围的形式化，所以证明就可以依据少数几个机械的规则来进行。迄今为止建立起的最全面的形式系统，一个是由罗素和怀特海在其《数学原理》一书中建立的，另一个则是由策梅洛和弗兰克尔为集合论建立的公理系统。其后，策梅洛-弗兰克尔系统被冯.诺伊曼所扩展。这两个系统如此之全面，以致当今数学中所使用的所有证明方法，都可以在其中予以形式化。也就是说，可以归约为少数几个公理和推理规则。由此，似乎可以合理地推测，这些公理和推理规则，足以断定所有在涉及到的系统中以任意方式可被形式上表达的数学问题。”

（哥德尔著：《PM及有关系统中的形式不可判定命题》英译本第37页）

为什么不能够足以正面断定，而恰恰是相反的断定：事实并非如此呢？接下来的篇幅，在哥德尔进一步给出细节之前，他给出了之所以获得这结论的证明思路。

在给出证明之前，哥德尔做了二点说明，

（一）我们面对的是除了公式的有限序列之外，再无其它任何含义的基本符号。

这些基本符号，哥德尔用括弧给出了这样几个类别：变元，逻辑常元，括号或者分隔点。显然，哥德尔文中所说的，PM中的有意义公式，应该就是今天的合式公式，它们用这样的基本符号来构成。而公式被证明为定理，又无非是在前的公式，借助规则的参合而构成的一个符号序列。

以PM公式为例，这些PM公式，如果我从内部去看，就像一个懂中文的人看中文文本，一定透过字符符号窥见这些字符符号中蕴藏的语义，这常常让人不识庐山真面目。现在我置身局外来观察了，有点像不懂中文的老外看中国文字，这些文字就纯粹是一堆符号，它的语义得通过翻译才能被人理解。于是，PM系统中的字符，就成为基本符号的有限序列。而哥德尔的论文，将用元数学视角来看待这些基本符号。

于是：

（二）元数学的视角出现了，从元数学的目的看，我们的考察对象就是这些由基本符号构成的东西。

哥德尔在论文中说得很干脆，从元数学的目的看，我们的考察对象就是这些由基本符号构成的东西，它自然是非物质的。这些东西只是心灵来把握的客体对象，也许是另一种不同于物质的实在，但一定是心灵之外的客体，在《元数学导论》一书中称为客体系统。当然，你把它们不看成是非物质的，这会彰显出你对物质的信仰依赖。但实际上。无论你看作是物质的还是非物质的，好像并不会影响到我们对这种元数学问题的讨论，还是你愿意信啥你就信啥为好，用不着强求。

对于这些非物质的符号对象，哥德尔接之又来了一个小小的约定，也是不用表达物质实在的语词，来标识这些符号对象，而是如哥德尔所言：“使用自然数来标识它们”。那些原来用基本符号来标识的序12列，哥德尔为之寻求的对应物，似乎依然是非物质的。

在数学史上，笛卡尔想到了用数字来与几何图形配对，在前博文曾提及，后面还会提到的法国数学家理查德，他曾在哥德尔之前用数字来给一个数学定义做标识。也许是理查德做出了榜样，他把数字与语言定义的字数配对，由此而产生理查德性质和理查德数。哥德尔则使用自然数来标识形式系统的基本符号，从而成就了现代数学逻辑史上的两个不完全性定理。而哥德尔表述其证明的过程，也如同理查德一样，产生了今天称之为哥德尔语句和哥德尔数的新概念。这在哥德尔文本中没有这样称呼，但随后的跟读，自然会出现这样两个有点类似理查德的观念。

由此，我们就看到如下的一些与自然数相关的序列：

一个特定的公式就是一个有限的自然数序列，

一个特定的证明模式则是一个自然数有限序列的有限序列。

由这两个自然数序列，自然，我们有关元数学的概念和命题，就成为：

涉及到自然数的概念和命题，或者是它们中的序列，

并且因此而至少在系统PM本身的符号中是部分可表达的。

特别是，在系统PM中，这样一类概念，例如“公式”，“证明模式”，“可证公式”等是可定义的，这都可以得到说明。也就是说，人们可以给出一个PM公式，例如像F(v)这样的公式，它带有一个自由变元v（属于数序列中的一个类型），使得F(v），当它解释为内容时，就陈述了：v是一个可证公式。这里的解释为内容，应该是这类命题就是真命题。

用今天的元数学语言，也就是：

一个为真的命题，它同时也是一个可证的命题。

反过来也应该成立：

一个可证的命题，它同时也是一个为真的命题。

从给出带一个自由变元的PM公式F(v)，到对公式中的v做出元数学断定，哥德尔似乎来了个急转弯，一下子就过渡到了一个任意命题A。我们读到哥德尔文本的这个地方，似乎从迷蒙的符号系统中看到了最初的不可判定命题，一个有关命题自身的不可判定命题。

这正如莎士比亚借哈姆雷特之口表述的一句格言：

“霍拉旭，天地之间有许多事情，是你们的哲学里所没有梦想到的呢。”

哈姆雷特剧照

二、哥德尔似乎来了个急转弯，一下子就过渡到了系统PM中的某个特定命题A。而这个命题A，无论是A本身，还是A的否定都不可证。

“我们现在就获得了一个系统PM的一个不可判定命题，那就是命题A，使用以下方式，对于这个命题A而言，既不是A，也不是非A可证。”

这就告诉我们，在系统PM中，存在一个有关命题自身的不可判定命题，这个命题我们可以给它一个名称A。年轻的哥德尔，干脆犀利，寥寥几段引语，立刻就切入主题：形式系统PM中存在不可判定命题A。有关A自身的这样一个不可判定命题，是如何获得证明的呢？哥德尔用以下的一些符号，来为这个证明铺设一条通向理性之巅的路径。

第一，符号R(n)指谓第n个类符号。

仅带有单一自由变元，该变元域且属于自然数序型（也就是类的类）的公式，哥德尔用粗体类符号class-sign来表示。这里的R(n)在结构上类似于F(v)，可以看到，R(n)属于类符号中的第n个，n是自然数；而F(v)如果它的变元域属于自然数类型，即所谓类的类，那即是类符号本身。

这个类符号被看作为安排在一个序列中的某种东西，并用斜体字符号R(n)来指谓第n个类符号；这个“类符号”概念，还有序关系R，它们在系统PM中也是可定义的。

用符号R(n)来指谓第n个类符号，有点类似于给PM的一变元公式，配以对应的自然数。这个自然数对应的，似乎只是任意的带一个自由变元的符号。

然后，任意类符号‘α’出现了，还出现α的组合符号[α;n]。

文本对于类符号已经有了界定，设α是任意类符号；符号[α;n],指定的是这样一个公式，这个公式通过用这个代表自然数n的符号，来替代在类符号α中的自由变元而被推导出来。

进一步，引入三词项符号x=[y;z]。

那个三词项的关系符号x=[y;z]也证明是在PM中可定义。在接下来的类K定义之后，这个三词项的等式引入，就开始起作用了。

继之，定义一个自然数类K的公式，把自然数和元数学命题联系起来。

现在，自然数类K的定义就出现了，那个≡应该是定义的标志：

哥德尔是90年前的表示法了，如果用集合的方式来表示，应该是自然数集合

这个公式（1）的左式是自然数类K，右式显然是个元数学命题。其中的Bew x ，意思是：x 是一个可证公式。在Bew上方的横杠，表示对于Bew的否定，也就是“不可证”。因此，这个带有德语“可证”缩写Bew的公式，用英语就可以表达为：

如果把上横杠否定符号换为更为普通的否定符号，波浪号～，则这个元数学命题就是：

用自然语言描述这个公式的含义，那就是：在自然数类K中，有数字n使得命题[R(n);n] 不可证。

因为出现在定义中的这些概念，全都在PM中有定义。所以，这里的自然数概念K，它也是由这些概念构成，它也在PM中有定义。也就是说，存在一个类符号S，使得公式[S; n]，将其解释为内容时，也就是公式为真时，那就陈述了：自然数n属于K。属于类符号的S等同于某种确定的R(q)，即:

S=R(q) 对于某个确定的自然数q成立。

哥德尔将路径的基石铺垫好了，他通过一个用元数学命题来定义的自然数类K，给出两个元数学公式。前一个相关于不可证，而后一个，显然相关与真近义的“成立”，也就是相关于命题的“真”。

有了这样的铺垫，也就出现以下简短的证明。

三、一个元数学的推理，证明A=[R(q);q]时，它在PM中是不可判定命题。

完全出乎跟读原著的意料之外，不可判定命题的证明异常简短，整个文本中，在有以上铺垫的基础上，证明的描述大概不到中文字符300字，使用的证明方法是反证法。

为什么命题[R(q);q]在PM中是不可判定的呢？

因为，假定命题[R(q);q]在PM中可证，那么，它就是一个定理，自然是正确的，也就是，这个可证命题就是一个真命题。但这意味著，如同已经说到过的，q也会属于K，也就是，依据（1），即：

[R(q);q]也将成立得很好，但这与我们的初始假设相矛盾。

如果给出相反的证明，假定[R(q);q]的否定可证，那么，也是q∈K，即Bew[R(q);q]也会成立得很好。由此，[R(q);q]在同样的时间，自身可证并且自身的否定也一样可证，这再次是不可能的。

这个简短证明的基础性依据，显然是PM的一致性。只有肯定PM的一致性，哥德尔所使用的反证法才是有效的。所以，哥德尔对于存在不可判定命题的证明，就可以用王宪钧先生给出的陈述：“一个包括初等数论的形式系统P，如果它是一致的，那么它就是不完全的。”

一个形式系统之中，含有不可判定的命题，自然是不完全的。

哥德尔的这个结果，很容易与理查德悖论，和撒谎者悖论联系起来。因为这个不可判定命题[R(q);q]精确地陈述了：q属于K。而只要q属于K，依据哥德尔给出的定义公式（1），就表明[R(q);q]是不可证的。因此，我们正面对着一个命题，一个断定其自身不可证的命题。这其实可以依据哥德尔的那个定义（1），用一个等价式来说明这个结果和理查德悖论和罗素悖论的类似。

因为那个属于K的q，即

这可以表示为：

用普通语言解释，不就是“[R(q);q]自身不可证”么？

理查德悖论也好，罗素悖论也好，其最基本的特性就是断定涉及自身。刚刚展示的这个证明方法可以很清晰地应用到具有以下特征的每一形式系统之中：首先，当解释为内容之时，系统配备了足够的表达手段去定义出现在上述论证中的概念（特别是这样的概念：“可证公式”）；第二，每一个该系统之中的可证公式解释为内容时都是正确的，也就是为真。

这就是哥德尔原著英译本第一章的基本内容理解，许多符号的详尽说明，还有证明的精确陈述，多在第二章和其后接下来的章节，且待续篇再述。