1.       李雅普诺夫的稳定性定义

运动稳定性理论是对系统的稳态运动状态（包括平衡状态）的稳定性理论。1892 年俄罗斯数学家李雅普诺夫论述了运动稳定性的基本理论，对稳定、渐进稳定和不稳定等基本概念给出了严格的定义。提出了判断运动稳定性的直接方法，和一次近似稳定性定理。为运动稳定性学科奠定了理论基础（图 1）。

       图1   李雅普诺夫（A.M.Lyapunov 1857-1918）

不用数学语言，李雅普诺夫定义的稳定、渐进稳定和不稳定概念可通俗地叙述为：若系统的稳态运动在 t = 0 的初始时刻受到微小扰动，在随后的 t > 0 的其它时刻，受扰后的运动（简称受扰运动）相对原运动（简称未扰运动）的偏差均为零附近的有限量，则未扰运动稳定（图 2a）。若此偏差随时间 t 趋近于零，则未扰运动为渐进稳定（图 2b）。若此偏差随时间 t 无限增大，则未扰运动不稳定（图 2c）。

                            图2    李雅普诺夫稳定性的几何解释

上述李雅普诺夫的稳定性定义有以下限制条件：在同一个运动微分方程支配下，受扰运动仅由初扰动引起，在初扰动作用后系统不再受其他扰动，且受扰运动与未扰运动在 t → ∞ 无限时间区间内的同一时刻进行比较。

2.       拉格朗日定理

在力学文献或教材中，常用李雅普诺夫直接方法证明拉格朗日定理，作为前者的应用特例。但从历史观点考虑，李雅普诺夫运动稳定性理论的出现比拉格朗日定理晚了一个世纪。因此也可以认为，李雅普诺夫直接方法是拉格朗日定理基本思想的延伸。

分析力学中的拉格朗日定理，是拉格朗日 (Lagrange,JL) 于 1788 年 提出的判断定常完整保守系统平衡稳定性的定理（图 3），且于 1846 年由狄里克雷 (Dirichlet,PGL.) 做了严格证明。因此也称为拉格朗日-狄里克雷定理。可叙述为：

如保守系统的势能函数在平衡位置处取孤立极小值，则平衡位置稳定。

图3    拉格朗日（J.L.Lagrange 1736-1813）

以质量为 m，弹簧常数为 k 的弹簧质点系统为例解释拉格朗日定理的意义（图 4）。设质点的位移为 x，速度为 v = x′，其总机械能 E(x, x′) 为势能 V(x) 与动能 T(x′)  之和

                                                                                                               (1)

                                                                                                           图 4   弹簧－质点系统

在总机械能 E(x, x′)中，动能 T(x′)  =  mx′²/2 在 x′ = 0 处必取极小值。因为依据动能的物理性质，任何物体静止状态的动能均为零，而只要有运动，动能必大于零。如弹簧的刚度 k > 0，则势能 V(x)  =  kx²/2 也在 x = 0 处取极小值。于是动能与势能叠加的总机械能 E(x, x′) 必在  x = x′ = 0 处取孤立极小值。建立 (x, x′) 相平面，以相平面的法线轴表示总机械能 E(x, x′)，E(x, x′) 在 (x, x′, E) 坐标系内的函数曲面是一个仅尖端与原点接触的椭圆锥面（图5）。在原点以外的任意小邻域内，函数 E(x, x′) 均大于零。

具有这种性质的函数称为正定函数。若将正定函数的函数曲面上下倒置，使原点以外的任意小邻域内的函数值均小于零，则称为负定函数。若正定或负定函数的零值不限于在原点处发生，则称为半正定或半负定函数。既非正定亦非负定的函数为不定号函数。

                                图5   E(x, x′)函数曲面

弹簧质点系统是定常完整的保守系统，其机械能守恒：

                                                                                                      (2)

其中常数 E₀ 是由初始扰动确定的总机械能。在 (x, x′, E) 坐标系中作 E = E₀ 平面，与曲面 E (x, x′) 的交线在相平面 (x, x′) 上的投影，即受扰运动的相轨迹，是围绕原点的椭圆。表明系统受扰后在平衡位置附近作微幅周期运动。根据李雅普诺夫的稳定性定义，平衡位置稳定，从而证实拉格朗日定理的判断。

若在弹簧的质点系统里增加阻尼因素，例如增加与速度方向相反的粘性阻尼力，则弹簧总机械能必不断减小。由于 E = E₀ 平面不断下降，相点在椭圆锥面上出现向下的移动速度，描绘出不断向内收敛的螺旋线。相轨迹不断向原点趋近。根据李雅普诺夫的稳定性定义，平衡位置为渐进稳定。

若弹簧增加负阻尼因素，即增加与速度方向一致的 “负阻尼力”，使系统从外界获得能量输入，总机械能必不断增大。令E = E₀ 平面不断上升，则相点在椭圆锥面上不断向上移动而远离原点。根据李雅普诺夫的稳定性定义，平衡位置不稳定。

3.       李雅普诺夫直接方法

拉格朗日定理利用能量极值判断平衡稳定性的方法简明扼要，有重要的理论意义。但受到定常完整保守系统的条件限制，不能成为判断稳定性的普遍实用方法。在拉格朗日定理的证明过程中，表示系统总机械能的函数曲面 E(x, x′)  起着关键性作用。如果对于更普遍的系统，也能找到有与 E(x, x′)  相同几何特征的函数曲面，则根据受扰运动的相点在曲面上的走向应也能确定平衡状态的稳定性。

先讨论一个简单例题。设一个非线性系统的动力学方程为

                                                                                                                       (3)

为判断平衡状态 x₁ = x₂ = 0 的稳定性，可选择 x_1, x₂ 的一个可微的正定函数：

                                                                                                                        (4)_

在 (x, x′, V) 坐标系中，这个 V  函数是一个尖端在原点处的圆锥面。要判断相点 P 在曲面上的走向，必须计算 V  函数在受扰运动过程中对时间的全导数，得到

                                                                                       (5)

算出的全导数 dV/dt  等于零，表示受扰运动的相点沿 V  函数曲面的等高线移动，在原点附近形成封闭相轨迹。从而证明系统 (3) 的未扰运动稳定。

相点 P 在 V  函数曲面上的运动，可形象化地设想为在锥形的天坑崖壁上行走的人。如沿等高线行走则沿封闭路线回到原处，如向下斜走可到达坑底，向上斜走则远离坑底。因此根据 P 点高度对时间的变化率就能判断未扰运动的稳定性。

李雅普诺夫将上述论断归纳为三个定理，即李雅普诺夫定理（Lyapunov’s theorem）：

 定理一： 若对扰动变量 x，能构造一个可微正定函数 V(x) ，使沿扰动方程的解曲线计算的全导数 dV/dt  等于零，则系统的未扰运动稳定（图 6）。

图6  用 V 函数判断稳定性

定理二：若能构造一个可微正定函数 V(x)，使沿扰动方程的解曲线计算的全导数 dV/dt 为负定，则系统的未扰运动渐近稳定（图 7）。

           图7   用 V  函数判断渐进稳定性

判断不稳定性可放松对 V  函数为定号函数的限制。只要 V(x) 有正值部分存在，而全导数 dV/dt 为正定函数，相点  P  必沿上行的曲线离未扰状态渐行渐远。归纳为

定理三：若能构造一个可微正定、半正定或不定号函数 V(x) ，使沿扰动方程的解曲线计算的全导数 dV/dt 为正定，则系统的未扰运动不稳定（图 8）。

图8  用 V 函数判断不稳定性

以上叙述的稳定性判断方法就称为李雅普诺夫直接方法（Lyapunov’s direct method），可认为是拉格朗日定理基本思想的扩展。使原来仅适用于定常完整保守系统的判断方法推广到更广泛的应用领域。用这种方法导出的稳定性充分条件无须对扰动方程求解，而是要构造具有某种性质的函数，使该函数与扰动方程产生联系，利用受扰运动的走向判断未扰运动的稳定性。所构造的函数称为李雅普诺夫函数（Lyapunov’s function）。

如何构造李雅普诺夫函数 V(x) 是使用李雅普诺夫直接方法的关键。一般情况下并无普遍规律可循。对于受扰运动微分方程存在初积分的特殊情形，可将初积分或初积分的组合选为李雅普诺夫函数。因为初积分沿扰动方程解的全导数必等于零，此条件已自动实现。对未扰运动稳定性的判断转化为所选李雅普诺夫函数是否具有定号性。因此所选函数的定号性条件就成为稳定性条件。如前文叙述的拉格朗日定理，只要将机械能守恒的初积分作为李雅普诺夫函数就能得到证明。这种方法已成功用于刚体定点运动和其它经典力学问题的稳定性判断。在自动控制系统里，李雅普诺夫直接方法也是判断稳定性的重要方法，成为现代控制理论的重要组成部分。

                         参考文献

[1]      刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2016

 [2]      刘延柱，陈立群. 非线性振动. 北京：高等教育出版社，2001