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葡萄藤与捻绳子 精选

已有 3023 次阅读 2020-10-17 14:43 |系统分类:科普集锦

  不少植物的茎具有强大的攀附能力。比如葡萄、黄瓜、扁豆、牵牛花和长青藤。这些植物的细长而柔软的茎随风摇摆,一旦它的枝梢遇到一个可以作为支撑物的物体,像树枝、花架或墙壁,就会紧紧地抓住,然后从柔顺的直线形态转变成坚韧的螺旋形态,成为一只天然的螺圈弹簧,以抵抗强风的袭击。更为有趣的是,所形成的螺旋线往往一半是左旋另一半是右旋[1]1865年,英国的进化论创始人达尔文(Darwin, C.)就观察研究过这个现象,详细记载在他的著作《攀附植物的运动和习性》(The Movement and Habit of Climbing PlantsNew York, 1888)里。图1就是这本书里的一幅插图。其实早在18世纪,植物学家就已注意到这个有趣的自然现象了。


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      图1 攀附植物的螺旋形态


为了对攀附植物的这一独特现象给出科学的解释,需要将植物的茎作一些简化。用力学的语言来说,就是简化成一个细长的弹性杆。1859年,与达尔文同时代的德国力学家基尔霍夫(Kirchhoff,G.)已经建立了一个研究大变形弹性细杆的力学理论[2]。应用这个理论作一些分析,攀附植物的茎从直线转变成螺旋线的现象就能依据弹性杆的力学规律作出解释。这类植物的细茎在遇到支撑物以前有一个稍稍弯曲的外形。当枝梢与支撑物固定以后,就成为一个两端固定的弹性杆。这种平衡状态是否稳定,可根据弹性杆内部的弹性势能来判断。稳定的平衡状态对应于势能的最小值,相反,不稳定的平衡状态对应于势能的最大值。

起先,固定端的拉力维持着杆的直线形态,随着茎的生长变长,端部的拉力逐渐松弛。当拉力小于某个极限值时,直线状态变得不稳定。相反,螺旋线状态却成为稳定的平衡状态。只要受到一点扰动,弹性杆就会从直线状态转变为螺旋线状态。

至于螺旋线为何一半是左旋另一半是右旋,却是一个有趣的普遍性现象。观察一下家里的电话线,不也是一半左旋另一半右旋吗(见图2)?你也可以动手做一个简单的实验,找一根粗铁丝或粗电线,两端固定住,然后捏住铁丝的中点向同一个方向卷绕,铁丝就会自然形成一个一半左旋另一半右旋的螺旋线。在两端固定的条件下,你绝对不可能把铁丝改造成一个朝同一个方向旋转的螺旋线。


葡萄2.jpg

2 电话线的螺旋形态


为了更深入讨论这个问题,可再做一个实验。取一段细绳,执其两端拉直并朝相反方向加捻,使细绳绕中心线不断扭转。扭至一定程度时,绳子的直线平衡状态会变得极不稳定,稍一放松就产生突变,缠绕成麻花状(见图3)。

葡萄3.jpg

                                  3   细绳受扭转后的突变


要解释葡萄藤和捻绳子现象,必须先了解一些与拓扑学有关的知识[2,3]将绳子看成一个圆截面弹性细杆。在松弛状态下杆的两侧各画一条中心线的平行线,记作C1和C2,沿同方向标出箭头。C1和C2张成一个狭长的曲带,细杆在空间中的状态可以由曲带的状态来体现。规定如果C1和C2在空间中交叉,C1在C2的上方,且C1的箭头逆时针转到C2位置时,则规定细杆有等于1的连接数(linking number),用符号Lk表示。如果逆时针变为顺时针,则Lk等于-1。假设细杆绕中心线扭转一周,则C1和C2在空间中交叉两次,但C1在C2的上方只有一次,此时连接数Lk等于1(见图4a)。杆绕中心线沿同方向扭转的圈数称为杆的扭转数(twisting number),记作Tw。每扭转一圈Tw增加1,朝反方向扭转一圈,则Tw增加-1。图4中扭转一圈的细杆的扭转数Tw等于1,与连接数Lk相等。 

 

葡萄4.jpg葡萄5.jpg

                        (a)                       (b)

                               4   扭转与缠绕均产生连接数 


  再假设细杆无扭转地缠绕出一个开口环圈,则C1C2的上方共交叉三次,其中两次连接数为1,一次为-1,总连接数为Lk = 2-1 = 1,但扭转数Tw为零(见图4b)。由此可见,细杆作扭转也好,作无扭转的缠绕也好,都能对连接数作出贡献。一般情况下,细杆可能既有扭转,又有缠绕。则连接数与扭转数之差就反映了细杆的缠绕程度,称为缠绕数(writhing number),用Wr表示。

                                        Wr = Lk -Tw

拓扑学的研究表明:封闭的或两端固定的曲带, 当中心线连续变形时其连接数Lk是一个不变量[2,3]。以上述葡萄藤为例,当细茎在触及墙壁找到支点时,因扭转数和连接数均为零,变换后左右螺旋各半的螺旋线所对应的缠绕数为零,连接数仍保持为零。这现象就有了合理的解释。再观察图5表示的两端固定曲带,顺时针扭转两次,扭转数Tw为 2。令两端相互靠近,曲带会突变为无扭转的螺旋形,扭转数Tw由 2变为零,缠绕数Wr从零变为 2,连接数Lk仍保持 2不变。

葡萄6.jpg

                                                                        Lk=2,  Tw=2,  Wr=0

葡萄7.jpg

                                                                  Lk=2,  Tw=0,  Wr=2

                                                                 两端固定曲带的变形


如上所述,葡萄藤和捻绳子的形态突变是由于扭转数向缠绕数的转变。但是还存在一个问题:为何总是扭转数向缠绕数转变,而不是相反,缠绕数向扭转数转变呢?这就必须应用前面提到的最小势能原理:弹性体的稳定平衡状态总是与势能的最小值相对应。受扭直杆的弹性势能Ee仅与扭转有关,可用扭转数表示为

                                                   Ee = (2π2C/L)Tw2 = (2π2C/L)( Lk -Wr)2

式中的C为杆的抗扭刚度,L为杆的长度。从势能公式可以看出,缠绕数愈大,弹性杆的扭转势能愈小。杆的缠绕现象还会出现弯曲势能,当杆有足够大的连接数时,缠绕数对扭转势能的影响超过对弯曲势能的影响。因此葡萄藤或细绳受扰动后,必然朝着缠绕数增大的方向,也就是势能减小的方向变化。

在工程技术中,类似的现象可以在细长的缆绳或电缆中发生。一旦缆绳或电缆受到太多的扭转时,就有可能失去稳定而发生缠绕纠结现象。

参考文献

1         Goriely A, Tabor M. Spontaaneous helix hand reversal and tendril perversion in climbing plants. Physical Review Letters, 1998, 80(7) : 1564-1567

2         刘延柱. 弹性细杆的非线性力学. 北京:清华大学出版社/Springer2006

3         刘延柱. 超大变形弹性细杆几何形态的拓扑描述. 力学与实践,2004, 26(5): 68~70

 

   (两篇文章的综合,原文载于《力学与实践》,2001, 23(2) : 79-80,及 2005, 27(4): 88-89









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