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拉面条的启示

已有 1525 次阅读 2020-10-15 11:18 |系统分类:科普集锦

一位膀圆力大的小伙子捧起一大团软面,手握面团两端,两臂用力向外抻拉,然后两头对折,反复抻拉,如此数次,一捧又细又长的面条魔术般地出现在拉面师傅手上(图1)。看罢这精彩的拉面表演,不妨思索一个有趣的问题。


lamiamtiao.jpg 拉面条 


   设想面团里的同一位置有两个小面粉颗粒,试问经过拉面师傅反复抻拉成了细面条以后,这两个颗粒各自落在面条的什么位置呢?再试问,稍微变动一下颗粒的初始位置,即使位置的变动极其微小,它们在面条上最终位置的变动有多大呢?这问题显然难以回答,因为多次抻拉使距离的误差不断放大,以致大到无法预计的程度。

  一位研究恒星运动的法国天文学家埃农(Hénon M.)于1976年发现了一个数学现象,称为埃农映射问题[1]。它的数学形式为

                                            xn+1=1+0.3yn-1.4 xn2,yn+1= xn   (n=1,2,····

将(x,y)坐标面上的4个点P,Q,R,S连接成四边形,4个顶点的坐标分别为

       P(-1.325, 1.39), Q(1.32, 0.45), R(1.25, -0.41), S(-1.05, -1.56)

将这个四边形域记作Σ,其中任一点的坐标作为xn,yn值代入埃农方程的右边,算出的xn+1,yn+1再代入右边反复进行。可以观察到,Σ内的每个点经过一次迭代后形成新的域Σ’,新域的面积缩小且折弯成马蹄形被包含在Σ内。将Σ’内的点再次代入方程迭代,形成的新域Σ”被包含在Σ’内,且再次被压扁拉长在Σ’内折弯两次。如此继续不止,每增加一次迭代都使新域被包含在旧域内部,面积更缩小形状更细长,且来回盘旋的次数增加一倍。无限次迭代后形成面积无限小无限细长且无限次迂回盘旋的域(图2)。可以看出,这个埃农映射与拉面条过程何等相似。Σ域内同一位置的两个点在多次迭代以后,它们的确切位置也就无法确定。


smale.jpg 2 埃农映射


   上述现象揭示出非线性系统对于初始条件的极端敏感性,是混沌现象的基本属性之一[2]1961年美国气象学家洛伦兹(Lorenz E.)最先注意到这个问题。气象学的研究主要依靠流体力学知识。奉牛顿力学为经典的科学家们相信,只要根据力学定律建立微分方程,给出初始条件,任何物理量的变化规律都能通过数学计算完全确定。初始条件的微小差异只会影响计算结果的误差。但是洛伦兹使用同一初始条件重复计算气候过程,长时间的计算后竟得到分道扬镳的结果(图3)。从而发现,非线性系统的初值敏感性可以使确定性问题的解出现不确定性。洛伦兹将这种初值敏感性形象化地比拟为蝴蝶效应,他的一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在德克萨斯掀起龙卷风的名言已在文献中被无数次引用。翻开我国的历史文献,《汉书》中的一句格言 失之毫厘,差以千里已表达了同样的意思。早在近两千年前我们的祖先已对这种现象作出了精辟的论述。


Lorenz.jpg  3 洛伦兹的计算结果


                         参考文献

1         Hénon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Commn. Math. Physics, 1976, 50:69-77

2         朱照宣,非线性动力学中的浑沌,力学进展,198414(2)129-146


(原载于《力学与实践》,200830(2)107-108)







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