任何成熟的科学都不允许一丝一毫的自相矛盾或悖论。

    有些教科书（例如华师大的数学分析）常常这样描述稠密且完备的实数轴：用一把没有厚度的刀劈向实数轴，总能劈到一个实数点。这种描述是不准确的，这是因为，可以证明，实数点之间必然存在空隙（见[1]中的定理1）：若不存在空隙，实数就必须一个一个地“紧挨”着，即邻距必须等于零。由于通常认为实数轴上实数点的大小为零，故邻距等于零会导致相邻的两个数变成一个数，并最后导致所有实数点都变成一个点，造成矛盾，所以是不可能的。因此用一把没有厚度的刀劈向实数轴，并不总能劈到一个实数点，且大概率劈到的是空隙。换言之，稠密且完备的实数轴因为存在空隙而实际上并不连续，而是离散的。笔者将这种因为存在空隙而导致的离散性称之为L-离散。

   在L-离散的概念基础上笔者提出的L-离散实数轴将邻间距定义为不等于零的常数或无限小，即

1）实数点之间有间隙即存在不等于零的邻距；

2）邻距可以根据实际的计算需要设为常数或无限小。

L离散实数轴可以分为静态和动态两种：

静态L-离散实数轴：邻距是不变的，这时，每一个数的相邻数也是固定不变的。

动态L-离散实数轴：邻距是可变的，这时，每一个数的相邻数也是随之而变的。

    动态的L-离散实数轴虽然是离散的，但在实际计算中，却可以将其当作是连续的。将这种现象称为“准连续”。其原因在于，如果没有厚度的刀劈向实数轴时，劈到的是空隙，则我们可以利用其动态性调整邻距，使得该处不是一个空隙而是一个实数点，这样，在实际计算中，就和没有空隙是一样的。可以将这种动态的实数轴看作是连续的。

    有人或许会问，为什么要“临时调整”呢？这些数难道不早就在那儿了吗？

    问题在于，如果希望没有空隙，就意味着必须用没有大小的实数点将空隙全部填满。且不说这是不是做得到，即使做到了，也就意味着会出现本文一开始就提到的“邻间距等于零会导致实数轴上所有实数点都变成一个点”这一矛盾，而这显然是不允许的，所以，空隙总是是存在的。

    因此，动态的L-离散实数轴实际上首次真正解决了数学史上长期存在的“如何处理实际的离散性和计算需要的连续性之间的矛盾”这一难题。

    在算法设计上，这种动态性有可能让我们用低精度的硬件作高精度甚至任意精度的计算，从而大大提高计算速度。

    L-离散实数轴的另一个应用是可以给出人们一直未弄明白的实数轴上有理数和无理数是怎样分布的这一问题。我的上一篇博文已经给出了答案：

    1）在L-离散实数轴上，有理数是单独存在的，无理数则成片存在：任意两个不同的有理数之间有无限个无理数，无理数的数目远远大于有理数。

    2）有理数的第三类分划 Q’|Q（即Q’中无最大有理数数、Q中无最小有理数数） 所对应的无理数不是唯一的，即无法用该分划定义唯一的无理数。

     唯其推导相对较为复杂。本文则给出了可能是最为简洁的推导：

       不妨将十进制（其它进制类似）无穷小 d_a 表示成

     d_a=lim _n→∞ 1/10ⁿ=0.000…1

     这里n 表示小数位数，省略号表示趋于无限多个的零，请注意，0.000…1只是这个极限所定义的无限小的一种表示。由于无限小的极限是0，但无限小本身并不等于0，为了防止将无限小与0混淆，本文采用了这样一种表示方法。

  引理1 d_a =0.000…1是无理数。

    证明 该数 1）有用省略号表示的无限多个零，因此是无限小数，2）不存在不变的循环节，因此不是循环小数，故该数是无限不循环小数即无理数。证毕

  推论 1 对任意q ∈R，qd_a 是无理数,

  证明 q 是有理数时显然，q 是无理数时，qd_a只是将无限不循环小数q 缩小了无数倍，故仍然是无限不循环小数。    证毕   

  例如，无限小0.000…2，0.000…3，… 也都是无理数。

  通常说的稠密性其实是指在相距有限小的两个数之间可以插入其他数，在相距无限小的两个数之间是否一定可以插入其他数，可能还需要研究。

  推论1说明，任何可化为qd_a的无限小量都是无理数。

  对于任意两个十进制小数的差值，若其为无穷小，显然都可化为qd_a ，因此，

  推论 2 任意两个十进制小数的差值，若其为无穷小，都可表示成无理数qd_a。

    定理1 在L-离散性实数轴上，当邻间距等于无限小时，有理数是单独存在的，无理数是可以相邻的，任意两个不同的有理数之间有无数个无理数。
    证明：根据推论2，可将无限小的邻间距表示为无理数qd_a ，而任一有理数 p 加（或减）一个无理数qd_a，得到的pq±qd_a 显然也是无理数，即有理数 p 两边都是无理数，或有理数是单独存在的。同理，根据引理1，在有理数 p 旁加（或减）nqd_a (n =2,3…)， 所得到的pq±nqd_a(n =2,3…) 也都是无理数，即无理数是可以相邻的。如果加（或减）无数个qd_a，且这无数个qd_a 之和恰为有理数，则会出现另一个有理数，即任意两个不同的有理数之间有无数个无理数。                                                       证毕

    以下给出证明中提到的“加（或减）无数个qd_a，且这无数个qd_a 之和恰为有理数”的例子：10ⁿ个qd_a 相加当 n→∞ 时，其和为

    10ⁿqd_a=qlim _n→∞ 10ⁿ/10ⁿ =q

    因此,当q 为有理数且 n→∞ 时，10ⁿ个无理数qd_a 相加，其和为有理数。

    本文证明不但较为直观和简洁，而且还证明了诸如“任意两个十进制小数的差值，若其为无穷小，都是无理数”、“无数个无理数之和有可能是有理数”等可能是“闻所未闻”甚至“石破惊天”的内容。

    由于无理数是成片存在的，因此Dirichlet函数并不是一个处处不连续的函数，而是一个以有理点为不连续点的分段函数。

 小结

    本文简要介绍了L-离散实数轴的基本概念及其两个重要的应用：

    1）首次提出了“准连续”的概念，解决了数学史上长期存在的“如何处理实际的离散性和计算需要的连续性之间的矛盾”这一难题。

2）给出了人们一直未弄明白的“实数轴上有理数和无理数究竟是怎样分布”的这一问题。

    3）指出 Dirichlet函数并不是一个处处不连续的函数，而是一个以有理点为间断点的分段函数。

    田茂、黄汝广等老师对本文提出了宝贵意见，在此谨表谢意！

参考文献

[1]在L-离散空间基础上重建数学基础

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1244583