主要观点摘录

1）其实实数可列甚至不需要证明。很显然，既然集合的元素都是独立的，当然可以一个一个拿出来再一个一个排列起来。问题仅在于拿不完也列不完，但这其实并不是问题，无限集本来就是拿不完也列不完的。比如说，自然数能拿得完列得完吗？何况实数？

2）从总体的逻辑框架上看，康托的对角线证明至少有两个假定，1实数是可列的，2可列的数是能够一个不漏地全部列出来的。由于假定不止一个，而矛盾最多只能保证推翻其中的一个，因此，即使用对角线推出了矛盾，也不能证明实数是不可列的。

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上一篇博文说到，一旦实无限观不能成立，康托的很多东西都站不住脚。实数不可列的证明就在这些东西之中。

大约半年前，我写了一篇关于对角线证明的质疑文章[1]，国内对对角线法持有异议的人也有不少。

   对角线法假定实数可列并将其全部列出，然后用可以无限延长的对角线构筑一个不同于所有列出的实数的新实数，从而反证了实数不可列。

可列不过是可以列出而已，即使是自然数，也是不可能将其全部列出的，何况实数？认为可列就意味着可以将其全部列出实际上就是一个实无限的假定，但既然实无限并不普遍成立，该假定也就未必成立。既然未必能全部列出，如何保证对角线增加得比同样可以不断增加的实数更快即一定能够穷尽还没有列出的实数？事实上，非但不能保证，我还证明了根本就不可能穷尽！

其实，一个非常显然的事实是，用对角线构筑出来的所谓新实数，并没有三头六臂，而是与其它实数“长得”一样，人们是否可以反问一句：既然已经假定把所有实数都已经列出，为什么不把这个实数也预先列出来呢？

打一个比方，如果实数可以全部列出，对角线又可以无限延长，那就相当于一个人站着不动，另一个人哪怕离得再远，总是可以追上的。然而，如果实数并不能全部列出，而是可以不断地列出，相当于站着的人也在跑，能保证追上吗？如果原来站着的人比追的人跑得更快，能追上吗？

所以说，从总体的逻辑框架上看，康托实际上是做了两个假定，1实数是可列的，2可列的数是能够一个不漏地全部列出来的，根据该两个假定，即使用对角线推出了矛盾，也可能不过只推翻了其中一个假定而已，能因此严格证明实数不可列吗？

与对角线法相关的是康托定理。应该承认，康托定理的证明确实非常巧妙，几乎可以说是叹为观止。然而，康托定理的证明也是建立在实无限的基础上的：只有先假定无限的自然数集是可以全部列出的，才能在此基础上证明其幂集的元素一定比已经全部列出来的自然数多。一旦自然数集还可以在已经全部列出的基础上再无限地扩展（无法证明不可以扩展），就会发现幂集元素仍然可与扩展了的自然数集一一对应[2]。例如无论在有限还是无限的情况下，集合A={1，2，3,…, n}(n为常数或趋于无限)的幂集P(A)都不能与A形成一一对应关系，但却可以与A*={1，2，3,…, 2ⁿ}(n为常数或趋于无限)形成一一对应关系，由于A*也是一个自然数集，所以无法证明P(A)不能与自然数成立一一对应关系。这里，“A*也是一个自然数集”这样一个极其简单且极其重要的事实却被康托本人及其追随者完全无视，是有意为之还是在阴沟里翻船？笔者更相信后者，因为无论是康托悖论或罗素悖论（见第一篇博文）还是实无穷观或对角线证明，“民科”式的思维随意、不严格似乎是他们的一贯作风，在阴沟里翻船也一点不奇怪。

区间套法也是不严格的（http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NjU5OTYx）

如所周知，自然数的幂集元素可以与实数一一对应，因此，只要承认A*也是一个自然数集这一极其简单且根本无法否认的事实，实数的可列性就已经是板上钉钉、坚如磐石、无法否认的事实了。无论是对角线法还是区间套法，其正确与否甚至都已经没有讨论的必要，唯一的价值是作为反面教材：通过研究其错在哪里来警示人们以后不要再犯因为“盲目自信+粗心大意”而导致思维不严格的可笑错误了。这应该是思维科学的一个乐园。

其实，实数可列性甚至都不需要证明。很显然，既然集合的元素都是独立的，当然可以一个一个拿出来再一个一个排列起来。问题仅在于拿不完也列不完，但这其实并不是问题，无限集本来就是拿不完也列不完的。比如说，自然数能拿得完列得完吗？何况实数？

比如说，有一大袋东西，里面的东西不是类似于粘粘糊糊的泥巴，而是一个一个独立的，拿出其中任何一个都不会对其他东西有任何干扰，难道我们不能把里面的东西一个一个地拿出来在桌上排列？有限无限都可以，当然，在无限的情况下，袋子和桌子都无限大而已。
    这个小学生也搞得清楚的问题，大人怎么就搞不清楚了?

可见，康托乐园里充满了迷人的氛围，所以有的人被迷倒出不来了。

其实，此类错误本质上是时代的局限性所造成的。经常被计算机程序的bug折磨得焦头烂额的人都知道，人类天生的思维严谨性其实是很差很差的，如果不知道这个弱点还自信满满，在稍稍复杂的问题上犯错几乎是必然的。从某种意义上说，没有经过编程残酷历练的人的逻辑思维能力未必会比零多很多，所以在计算机还没有诞生时代的各种错误并不足奇。

只是不应该再延续下去误人子弟了！

   虽然到目前为止，实数不可数仍然是主流观点，但主流并不意味着正确。只有在完全没有争议的情况下（例如勾股定理），主流才往往代表着正确（但也有例外，例如牛顿力学曾经也是没有任何争议的），但一旦有争议，恐怕就值得思考了。一个不争的事实是，聪明人永远是少数，而且，所谓主流，还往往有着大量只会跟风的人，何况乐园里的迷香那么厉害，真正有严格的思维能力的人未必多。

[1] mn-0034 李鸿仪；有关对角线证明的三篇质疑文章

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1183161.html

[2] 李鸿仪.康托定理并没有证明实数不可数 https://zhuanlan.zhihu.com/p/71200867?from_voters_page=true