chbibo的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/chbibo

博文

从逻辑学发展史看薛定谔方程与其前提的非等价性

已有 562 次阅读 2021-1-7 11:53 |个人分类:纹明|系统分类:科研笔记

尊重版权,转引请注

1923年路易.德布罗意(Louis de Broglie)在他的博士论文中提出光的粒子行为与粒子的波动行为关系。1926年薛定谔在《物理年鉴》上发表论文,提出薛定谔方程。

从逻辑学的发展史来看,必要条件推理是假言推理的一种,这在我们今天的传统逻辑内容中都能见到,但在20世纪30年代之前,传统逻辑中却没有这方面的内容。金岳霖于1936年出版《逻辑》一书,1937年再版,其在书中吸收了中国古代逻辑的思想,主要是《墨辩》中“小故”的思想,提出必要条件假言命题及其推理形式和逻辑规则。“无论是西方的传统逻辑,还是西方的现代逻辑,都没有论及必要条件假言命题,就是在亚氏的古典逻辑和对传统逻辑、符号逻辑产生较大影响的逍遥学派逻辑和斯多葛逻辑中也没有涉及到这种命题。”金岳霖是提出必要条件假言命题的第一人[1]。

换言之,在薛定谔推导薛定谔方程时,尚无“必要条件”的概念。因此薛定谔从其假设前提推导出薛定谔方程的结论时,仅仅满足了逻辑上的充分性,他并未从薛定谔方程的结论倒推回假设前提,没有检验逻辑上的必要性。而只有充分性和必要性均满足时,前提和结论才是等价的。所以本文对于薛定谔方程结论重新进行探讨。

薛定谔方程及其证明

1926年薛定谔提出薛定谔方程1.png。证明过程如下:

与一定能量2.png及动量3.png的粒子相联系的平面单色波为:

4.png                             (1)

    因为

5.png             2)

 

6.png     3)

由(2)、(3)得:

7.png                  4)

进一步考虑在势场8.png中运动的粒子,按照经典粒子的能量关系式:

9.png                               5)

对能量作替换,然后作用于波函数上,即得:

      6) 10.png

对波函数求导变换后再求波函数的问题

首先看,11.png                  7)

并不等价于12.png                 8)

例如13.png14.png可为任意函数。  9)

(9)式与(7)式的波函数15.png显然不同,但它们都可以推导出(8)式。而(8)式却不必然推导出(9)式或(7)式。因此(8)式是(7)是的必要但不充分条件,会出现众多与(7)式不同的函数的迭加。因此,即使采用(8)式,仍然得加上(7)式作为条件,才能与(7)式等价。

进一步地,既然已经写出了波函数方程(1),这就已经是波函数结果了,为什么还要对已知波函数求导之后再算波函数?甲函数求导,然后根据偏导再算原函数,则计算出的原函数必然会比甲函数多一任意常数项,也即出现众多与甲函数不同的函数的迭加。

因此从波函数(1)推导出的薛定谔方程,与波函数(1)不等价,不是等价变换。波函数方程(1)本身就是最精确的方程。将波函数(1)求导之后,构造偏导之间的等式关系,然后再计算原函数,是缺乏根据的。假如这样可以的话,那么也可以构造16.png17.png18.png......等更高阶偏导的等式关系,这又将出新的结果。

势场19.png的处理问题

薛定谔方程将势场19.png直接放置入偏导方程20.png中,这亦缺乏根据。

在势场8.png中运动的粒子,21.png,则波函数应写为:

22.png                 (10)

则:23.png                             11)

24.png   12)

故:

25.png 13)

显然,由(11)(13)就得不到(6)式。

现在假设26.png是与27.png无关的常数,则(13)式为:

28.png                                    14)

联解(11)(14)得:

29.png                                  15)

可见,若势场26.png27.png32.png无关,则26.png不会进入薛定谔偏导方程,因为(15)式的波函数解中,已经包含了带有常数项26.png的波函数。

综合来说,当考虑势场19.png时,波函数直接写为(16)式即可,不应像薛定谔方程那样将波函数求导、变换等式之后再返回来求波函数:

34.png                (16)

 

波函数的一切计算,都应从(16)式出发,而不是从基于(16)式的偏导方程出发。偏导方程是(16)式的必要但非充分条件。例如研究能级分布时,应根据驻波条件35.png计算出可能的能级36.png,得到相应的波函数,然后根据求出的波函数计算粒子出现的概率。必须要清楚:波函数才是最本质的数学物理方程,直接计算波函数远比求解偏导方程更容易,物理含义更清晰。

参考文献

[1] 冯彦波:论20 世纪30年代金岳霖对我国传统逻辑学的贡献[J].辽宁教育行政学院学报,2009年1月



http://blog.sciencenet.cn/blog-3424736-1266104.html

上一篇:纹明:《山海经.西次三经》之二轩辕之丘
下一篇:纹明:《山海经.西次三经》之三轩辕之国

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-2-25 02:22

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部