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从中国版《几何原本》研究测度几何

已有 1019 次阅读 2020-11-30 20:49 |个人分类:纹明|系统分类:论文交流

摘要:本文基于中国版《几何原本》重新审视测度问题,提出几何与几分理论下的测度等、测度邻域、测度势和测度连续等定义,并给出新理论下的确界定理、区间套定理、中值定理等。

关键词:测度、几何、几何原本、测度几何

 

本文基于徐光启版《几何原本》(以下称中国版《几何原本》)重新审视测度问题。中国版《几何原本》卷五第一界,阐述了“几何”之含义:“分者,几何之几何也。小能度大,以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰,几何之几,何者谓非?此小几何不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也。曰,能度大者谓小几何,大几何能尽大之分者也。”这段话清晰地阐述了何为“几何”:某量可以被更小的某度来分尽,既无不足亦无余数的,此量即为大几何,此度即为小几何。如果不能分尽,就“不为大几何内小几何也”,换言之,就不叫几何。本段对不能分尽的,给出了另一个专门名词“几分”。“若不尽分者,当称几分”。

切边角、曲线角与无穷小量的图形与数学表示

通常认为可绘制出的量均为有限小量,但中国版《几何原本》给出了可绘制的无穷小量“切边角”。“切边角”即切线与曲线的夹角,其无限趋于0但实际上并不等于0。进一步地,“切边角”是导数数据的代表,绝大多数导数值的极限为有穷值,但导数值本身并不是有穷值。例如:

1.png    (1)

(1)式即中国版《几何原本》所说的“曲线角”,其值包含无穷小量2.png。通常说3.png其实取的是4.png时的极限值,即直线角斜率。任何时候5.png的曲线角与斜率相差小量2.png。因此可绘制出的量中通常均有无穷小量。由(1)亦可知,将4.png舍弃为0的后果,是失去了“曲线”的特征。更一般地,现代数学把点作为线的构成部分,把单点作为无穷区间套的唯一公共点,都表明现代数学认为存在尺度为无限小乃至0的图形。

    下文将含有无穷大、无穷小项的数值称为无穷数值,否则称为有穷数值。并用6.png表示所有正无穷小数,7.png表示所有负无穷小数。因此8.png表示既不无穷小亦不无穷大的数(但既可能有穷也可能无穷),称为有限数。

现有极限、连续及相关定理存在的问题

当前的数学体系对测度的理解存在较大的问题,这也说明此数学体系的确是在中国版《几何原本》的基础上发展,但却错误中国版《几何原本》关于测度的阐述,从而出现方向性的问题。

函数极限定义:若存在一个实数9.png,对于任给的10.png,总能找到11.png,使12.png时满足13.png,则称9.png为函数23.png在点15.png的极限,记为16.png。本定义中,17.png18.png为有穷数。

现在构造反例:

19.png       2

2)式中20.png即为无穷小量。(1)式在21.png区域内当22.png时的23.png趋近于1024.png25.png26.png27.png。因此这是一条28.png29.png内连续的线。

但是,对任意有穷小值30.png,使31.png时,32.png都远远小于18.png邻域,因此28.png18.png邻域时23.png的值域均为36.png。所以不可能存在任给的37.png,找到30.png,使39.png时满足40.png41.png

倘若上述函数极限定义中,28.png46.png中也只能取有穷值,则28.png无法在32.png中取值。此时若23.png45.png中间断,根据此极限定义,23.png21.png中仍被判为有极限。因为在(2)式中,28.png47.png中取任意有穷小的数值,均有48.png,所以27.png,因此23.png的极限为1。这与22.png时的23.png趋近于10的真实图像情况冲突了。无论28.png取有穷值还是无穷值,上述函数极限的定义都存在问题。

再看连续的定义:若函数23.png在点15.png的左极限等于该点的函数值,则称函数77.png在点15.png左连续。若函数23.png在点15.png的右极限等于该点的函数值,则称函数23.png在点15.png右连续。但既然极限定义有问题,则连续的定义亦有问题。如(2)式在52.png没有极限,自然就不连续。但从图形上看,(2)式在52.png点既有逼近10的趋势,又是连续的。

由此导致下述定理存在问题:

上(下)确界定义:给定数集53.png,如果存在实数54.png,满足条件:(1)对于所有63.png,成立56.png;(2)对于任意的37.png,至少存在一个58.png,使得59.png,那么就称此54.png是数集9.png的上确界,记为60.png

本定义中,倘若54.png调整为61.png62.png,则(1)对于所有63.png,成立64.png;(2)对于任意的有穷数37.png,至少存在一个58.png,使得67.png。因此按定义,61.png54.png都是数集9.png的上确界,显然这矛盾了。

区间套定理:在区间套69.png中,70.png,对于单调数列来说,极限就是数列的上(下)确界。故71.png是这些闭区间的公共点。且若有不同的公共点72.png,则73.png,但因为74.png,所以矛盾了。因此71.png是这些闭区间的唯一公共点。

显然地,区间套定理存在的问题是同样的。75.png并不意味着有公共点。76.png也并不一定是有穷值,所以71.png未必是这些闭区间的唯一公共点。

有界性定理:若函数23.png在闭区间78.png上连续,则它在78.png上有界。

有界性反例:

79.png       3

3)式是80.png之间的连续函数,但在81.png之间无界。

最大(小)值定理:若函数23.png在闭区间78.png上连续,则它在78.png必能取到最大(小)值。最大(小)值原理由有界性定理推导而得。但由于有界性定理有问题,所以最大(小)值原理亦不成立。

零点存在定理:若函数23.png闭区间78.png上连续,且82.png,则一定存在77.png“零点”83.png,即84.png

反例:取闭区间85.png86.png,当87.png时,88.png89.png。则23.png连续但不为0

中间值定理:若函数23.png闭区间78.png上连续,则其在78.png上一定能取到最大值和最小值之间的任何一个中间值。

显然地,类似零点存在定理的反例,在23.png的值上加上高阶无穷小,中间值定理就不成立。

一致连续概念:对于任意给定的37.png,存在38.png,使得任意两点92.png93.png属于78.png(或94.png),只要95.png就成立96.png,则称23.png78.png(或94.png)上一致连续。

2)式不是上述定义中的连续函数,自然也就不是上述定义中的一致连续函数。但是如果允许35.png为无穷小的话,(1)式就可以为一致连续函数。

测度等、测度界、测度邻域、测度势、测度连续及相关定理

中国版《几何原本》是如何处理高阶无穷小的测度问题呢?其卷三第十六题说:“切边角分之无尽,何谓不可减邪。若十卷第一题所言元无可疑,但以圆角分圆角则与其说合矣。彼所言大小两几何者,谓夫能相较为大、能相较为小者也。如以直线分直线角,以圆线分圆线角。是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉。增题有两种几何,一大一小。以小率半增之,递增至于无穷。以大率半减之,递减至于无穷。其元大者恒大,元小者恒小”。本段指出存在数量级高低阶不同的几何种类,但无穷小几何可以被同种无穷小几何细分(即测度)。因此中国版《几何原本》指出同数量级的几何之间可测,不同数量级的几何之间不可测。中国版《几何原本》中切边角、曲线角这种无穷小的图例代表了所有导数,其“以小率半增之,递增至于无穷。以大率半减之,递减至于无穷。其元大者恒大,元小者恒小”也是对不同种几何的普适性描述。对切边角、曲线角进行平方、立方等操作,显然再可以构造出现实存在的更多类型不同数量级的几何。中国版《几何原本》明确指出:“几何原本书中无有至大不可加之率,无有至小不可减之率。若切边角不可分,岂非至小不可减乎?”其含义是:“至小不可分的单点”不是几何,“至窄不可分的线”在其宽度上、“至薄不可分的面”在其厚度上也不是几何。

根据中国版《几何原本》的理论,邻域、极限和连续的研究,都必须要在一定测度的前提下进行。本文根据中国版《几何原本》中“几何”和“几分”定义如下。

对于98.png,称99.png为测度。100.png为以99.png为测度的度数;若101.png99.png的整数倍,则称100.png为以99.png为测度的几何度,28.png99.png的大几何,99.png101.png的小几何。若28.png不是99.png的整数倍,则称101.png99.png的几分。若99.png为最小测度(也即最小刻度),则100.png只能是整数,因为小于99.png的值不可能被测出来。几何度满足可加性,即102.png。几分则不一定满足可加性,即103.png。但若99.png不是最小刻度,则100.png可以为小数。若28.png99.png的有理数倍,则可以将有限多个28.png加总起来构成以99.png为测度的几何度。若34.png99.png的无理数倍,则不能将有限多个28.png加总起来构成以99.png为测度的几何度。

104.png,则称28.png99.png同几何级,否则为异几何级。若105.png,则称34.png99.png的微几分,亦可称28.png99.png的低几何级,99.png28.png的高几何级,。若106.png的值为99.png的微几分,则称9.png99.png度等于145.png,记为107.png9.png145.png互为99.png度值,即9.png145.png99.png度值,145.png亦为9.png99.png度值。若108.png109.png,则称9.png99.png度大于145.png,记为110.png145.png99.png度小于9.png,记为111.png。所有99.png度等于53.png的数均为9.png145.png99.png度最大值,或99.png度上界。所有99.png度等于145.png的数均为53.png145.png99.png度最小值,或99.png度下界。

以上基于测度的定义中,几何之下还有几分、微几分。换言之,线的构成成分不是单点而是短微线,面的构成不是单线而是窄微面,体的构成不是单面而是薄微体。这正与中国版几何原本“一点无分亦非几何,即不能为线之分也。一线无广狭之分,非广狭之几何,即不能为面之分也。一面无厚薄之分,非厚薄之几何,即不能为体之分也”完全一致。

本文定义112.png113.png114.png为有穷数”为23.png115.png附近在测度99.png下的度数小于有穷数值114.png但大于无穷小的邻域,简称99.png度邻域”。99.png可能无穷小、无穷大或有限数值。

116.png度邻域的117.png度势定义:若存在一个实数9.png和无穷小数17.png,对于任给的有穷数118.png,总能找到有穷数30.png,使120.png时满足121.png,则称115.png为函数23.png在点15.png116.png度邻域的117.png度势,记为123.png。显然117.png度势加减117.png的微几分后仍为117.png度势。通常117.png124.png同几何级,此时116.png度邻域的117.png度势”简称116.png邻势。若116.png亦为有限数,则简称势。若28.png只能取有穷数值,则116.png为有穷数,是无穷小数的高几何级,无穷小数为几分,无法研判无穷小区域。若23.png只能取有穷数值,则125.png117.png为有穷数。本文下面探讨28.png可取无穷数值的情况。

116.png度邻域的117.png度连续定义:若函数23.png在点51.png左(右)116.png度邻域的117.png度势117.png度等于该点的函数值,则称函数23.png在点51.png左(右)116.png度邻域的117.png度连续。若117.png124.png同几何级,则简称为左(右)116.png邻连续。若116.png亦为有限数,则简称左(右)连续。

由此有本文以下定理:

上(下)确界定义:给定数集9.png,如果存在实数54.png,满足条件:(1)对于所有63.png,成立129.png;(2)对于任意57.png131.png,且35.png为任意有穷小数值,则至少存在一个132.png,使得133.png,那么就称此127.png是数集9.png99.png度上确界,记为134.png54.png117.png同几何级。

区间套定理:若一系列闭区间135.png满足条件:(1)一个套一个,即136.png;(2)区间的长度在99.png测度下单调趋于零,即137.png,则138.png100.png99.png同几何级。所有闭区间的公共区域为99.png测度的微几分区域。

有界性定理:若函数23.png在闭区间78.png116.png度邻域117.png度连续,则它在78.png116.png度邻域有117.png度界。

最大(小)值定理:若函数23.png在闭区间78.png116.png度邻域117.png度连续,则它在139.png必能取到某点的116.png度邻域中的度最大(小)值。

零点存在定理:若函数23.png闭区间139.png116.png度邻域117.png度连续,且140.png,则一定存在116.png度邻域中23.png117.png度等于“零点”141.png,即142.png

中间值定理:若函数23.png闭区间139.png116.png度邻域117.png度连续,则其在78.png上一定能在某个116.png度邻域上取到与117.png度最大值和最小值之间的任何一个117.png度中间值。

一致连续概念:对于任意给定的有穷数118.png,存在有穷数119.png,使得任意两点92.png93.png属于78.png(或94.png),只要143.png就成立144.png,则称23.png78.png(或94.png)上116.png度邻域117.png度一致连续。




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