同一律是数学理论在推理和证明过程中必须要遵循的逻辑推理基本规则。如果在同一个数学推理和证明过程中，用一个完全不同的概念去代替原有的概念进行推理和证明，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，从而会使推导出的逻辑结论出现谬误或悖论。

牛顿在创立《微积分》时曾因违反同一律，将∆x≠0和∆x=0这两个完全不同的数学概念等同使用，产生了著名的“贝克莱悖论”，导致《微积分》理论在逻辑上不能自洽，引发了一场数学史上持续150年的第二次数学危机，《微积分》理论险被推翻。

《随机过程》教科书为了刻画“连续随机运动”，“假设X(t)为t的一个连续函数”，因此，X(t)无疑是随机过程X(ω,t)固定ω时的一个“样本函数”或“一次实现”。《随机过程》教科书也进一步解释：X(t)的物理意义为一个布朗粒子在t时刻的位移。

《随机过程》教科书又将时间区间[0,t]进行n等分，并用∆X_i表示第i个时间段内的样本函数X(t)的增量，因此样本函数X(t)可表示为

X(t)= ∆X₁ +∆X₂+…+∆X_n              （1）

上式表明：样本函数X(t)是“n个样本函数增量之和”。

《随机过程》教科书为了利用中心极限定理，首先用“n个独立同分布的随机变量之和”代替了式（1）右边的“n个样本函数增量之和”，然后根据中心极限定理“独立同分布随机变量之和的极限分布为正态分布”结论，直接得出了“样本函数X(t)服从正态分布”的谬误。

样本函数X(t)和随机变量X(t)的数学符号虽然完全相同，但它们是两个分别定义在时域T和样本空间Ω上的不同函数。样本函数X(t)是固定ω时的随机过程X(ω,t)，是随机过程X(ω,t)的一个实现；而随机变量X(t)则是固定t时的随机过程X(ω,t)。

因此，样本函数X(t)和随机变量X(t)是两个内涵与外延完全不同的基本概念。

从逻辑学角度看，《随机过程》用“独立同分布随机变量之和”代替“样本函数增量之和”进行推理和证明，就是用一个完全不同的概念去代替原有的概念进行推理和证明，明显违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，必然导致推导出的结论出现谬误或悖论。

《随机过程》违反同一律的逻辑错误可用公式表示为：

样本函数=样本函数增量之和=独立同分布随机变量之和

总之，《随机过程》教科书为了利用中心极限定理，有意偷换概念，用“独立同分布随机变量之和”替换“样本函数增量之和”，因而产生了违反同一律的逻辑错误，必然会导致《随机过程》理论不仅在逻辑上不能自洽，并且与经验事实不符。

事实上，如果假设样本函数X(t)的增量∆X₁，∆X₂，…，∆X_n完全随机、互不相关，且服从（0，σ²）正态分布，则X(t)可写为

式中n(t)为平均功率为σ²的白噪声。

这一结果不仅与自然科学、工程技术和社会科学领域大量的观察实验结果相符，而且也与《随机信号分析》理论完全一致。

参考：

[1]  Gregory F.Lawler. 随机过程导论[M]. 张景肖译.北京:机械工业出版社,2010.

[2]《随机过程》教科书中的四个重大科学问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1417107.html

[3] 为什么自然科学与工程技术的布朗运动理论对立冲突？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1415197.html