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彩虹,并不是反射和折射这么简单

已有 368 次阅读 2019-4-16 20:23 |系统分类:科研笔记

彩虹的原理是什么?大部分人都会回答,太阳光被空气中的小水滴折射,形成了红橙黄绿青靛紫漂亮的光环。如果继续思考,会发现只靠折射,折射光跟太阳光在一个方向,太阳光将盖过彩虹的七色,而且呈现的应该是外紫内红的七色(我们有时候确实能在彩虹的外侧,看到外紫内红的霓,但产生机制是在水滴内部经过两次反射,在下文会提到)。所以,加上反射,即太阳光进入小水滴后,经过一次反射后,再折射到空气中,色散的七色光背对太阳,而且外红内紫,问题似乎就解决了。当然,知道这些,应付中考应该是没问题了。然而继续深入下去,会发现问题并非那么简单。

事实上,根据不同的受力情况和水滴大小,小水滴可以呈现球形、椭圆、上圆下扁不同形状。但为方便讨论,将小水滴近似看成一个球体。

首先,第一个问题,为什么我们看到的彩虹出现在40°42°夹角的位置(夹角为入射光和出射光的夹角的补角)?

由于太阳光是平行光,在水滴的向阳面的每个地方都会有阳光射入其中。如图所示,根据入射角的不同,出射光的位置也不一样。每一条入射光线确实能色散成七色,但许多平行光线叠加后,呈现的仍是白光。

1.png

我们之所以能在40°42°夹角看到彩虹,是因为在这个夹角范围内,出射光最密集。换句话说,在其他角度范围,由于出射光强度太弱,人眼无法看到。下面做简单证明。

我们设入射光角度为θ1,折射光角度为θ2,经过第一次折射,角度改变了θ1-θ2,经过一次反射,角度改变π-θ2,设经过m次反射(若只考虑主虹,m取1),最后经折射,出射光进入空气中,总的偏转角度D为2(θ1-θ2)+m(π-θ2)。

2.png

利用python简单画了m=1时,关于θ1的D函数散点图,红色点对应红光,紫色点对应紫光。θ1的取值范围为0-90°,每0.5°取一个点。显然,在D=140°左右,点最密,即出射光的强度最大。4.png

我们也可以根据sinθ1=nsinθ2(n为折射率),求D关于θ1的导数,最小值对应的θ1满足

对于主虹,m=1,即

红光的折射率为1.3318,对应的θ1为59.48°,D为137.75°,其补角为42.25°。

紫光的折射率为1.3435,对应的θ1为58.80°,D为139.42°,其补角为40.58°。

对于霓,m=2。因为多了一次反射,霓的强度比虹小,这就是为什么大多数情况下我们只能看到一条彩虹的原因。随着m的增大,出射光强度减小。当光强减小到一定程度时,人眼便无法感知到。

具体计算如下:

5.png


太阳光也可以在水滴之间被多次折射和反射。

第二个问题,复虹。下图为美国男子John Entwistle在新泽西州拍到的罕见的5道彩虹。这是什么神仙运气,为什么我连两道彩虹都没看到过……

303a9ed3f4904e69b58bcc58903e9368.jpg

第三个问题,为什么彩虹是半个环形的?

明早有课,有空再写

欢迎指正。



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1 马德义

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