【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【南京大学】

1、

定义：

4.1.2(微分).设$f$是在${{x}_{0}}$附近有定义的函数，如果存在常数$A$，使得

$f(x)=f({{x}_{0}})+A(x-{{x}_{0}})+o(x-{{x}_{0}}),x\to {{x}_{0}}$，

则称$f$在${{x}_{0}}$处可微，${{x}_{0}}$处的线性映像$x\leftrightarrow Ax$称为$f$在${{x}_{0}}$处的微分，记为$df({{x}_{0}})$.

微分的几何意义在于它可以看成$f$的一个线性近似。由于微分的斜率等于导数，我们将${{x}_{0}}$处的微分$df({{x}_{0}})$写为

$df({{x}_{0}})=f'({{x}_{0}})dx({{x}_{0}}),$

其中$dx({{x}_{0}})$是函数$x$在${{x}_{0}}$处的微分（即恒同线性映像）。因此我们又将导数$f'({{x}_{0}})$记为$\frac{df}{dx}({{x}_{0}})$或$\frac{df}{dx}{{|}_{{{x}_{0}}}}$，称为$f$在${{x}_{0}}$处的微商。

2、 

定义：

设$y=f\left( x \right)$定义在区间$I$上，对应于$I$上的${{x}_{0}}$点的改变量$\Delta x$，得到对应的因变量的该变量$\Delta y$，如果当$\Delta x\to 0$时，有

$\Delta y=A\Delta x+o\left( \Delta x \right)$                       （1）

其中A不依赖于$\Delta x$（可能依赖于${{x}_{0}}$），则称$y=f\left( x \right)$在点${{x}_{0}}$点可微，而且称$A\Delta x$为y在${{x}_{0}}$点的微分，记为

$dy=A\Delta x$

从而式（1）变为

$\Delta y=dy+o\left( \Delta x \right)$

如若y=x，则$\Delta y=\Delta x$，这时在对应的（1）式中，A=1，$o\left( \Delta x \right)=0$，所以有$dx=\Delta x$。于是微分式可改写为

$dy=A\left( {{x}_{0}} \right)dx$

而

$\Delta y=dy+o\left( \Delta x \right)=A\left( {{x}_{0}} \right)dx+o\left( \Delta x \right)$

3、

定义：

例2  设$y=x$。求$dy$。

解 因为${{y}^{'}}=1$，所以

$dy=\Delta x$

可见自变量的增量等于函数$y=x$的微分。也因为这个原因，我们就将自变量的增量$\Delta x$定义为自变量的微分：

$dx=\Delta x$

这样，（4）式就可以写成

$dy={{f}^{'}}\left( x \right)dx$

或

${{f}^{'}}\left( x \right)=\frac{dy}{dx}$

现在，函数的导数就可以看成两个微分的商。所以导数也叫做微商。

参考文献：吴顺唐, 刘东. 数学分析（上册）[M]. 南京大学出版社，2000.

4、

定义：

如若$y=x$，则$\Delta y=\Delta x$，这时在对应的（3.45）式中，A=1，$o\left( \Delta x \right)=0$，所以有

$dx=\Delta x$，

即自变量的微分等于它的改变量，于是微分式可改写成

$dy=A\left( {{x}_{0}} \right)dx$

而

$\Delta y=dy+o\left( \Delta x \right)=A\left( {{x}_{0}} \right)dx+o\left( \Delta x \right)$

参考文献：许绍溥, 姜东平. 数学分析教程（上册）[M]. 南京大学出版社，2013.