【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

 【中国人民大学】

１、

设函数$y=f(x)$在$x_{0}$点可导（如图4.7所示），在$x_{0}$点给自变量以改变量$\Delta x$，则对应的函数值的改变量为

$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$.

故由导数定义知

$\frac{\Delta y}{\Delta x} \rightarrow f^{\prime}(x)(\Delta x \rightarrow 0)$.

记$\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime}\left(x_{0}\right)$，则$\alpha \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0)$，即$\alpha$为$\Delta x \rightarrow 0$时的无穷小量，从而

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x)+\alpha$，

$\Delta y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x+\alpha \Delta x$，（4.2）

注意到$\frac{\alpha \Delta x}{\Delta x}=\alpha \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0)$，即$\alpha \Delta x$是比$\Delta x$高阶的无穷小量（$\Delta x \rightarrow 0$），故（4.2）式也可写为

$\Delta y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x+o(\Delta x) \quad(\Delta x \rightarrow 0)$.

上式第一项$f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$中，$f^{\prime}\left(x_{0}\right)$是常数，因此当$\Delta x$充分小时，$\Delta y$的大小主要由$f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$决定，$f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$称为$\Delta y$的线性主要部分（简称线性主部），若记$d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$，特别地，对于函数$y=x$，因为$y^{\prime}=x^{\prime}=1$，则有$d y=d x=\Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$.因此，函数值改变量$\Delta y$在$x_{0}$点的线性主部可以记为$d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) d x$.在图4.7中，函数值的改变量$\Delta y=B C$，而$B D=\Delta x \cdot \tan \alpha=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$，于是，当$\Delta x$充分小时，$\Delta y \approx f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x \approx d y$.可见$\mathrm{d} \mathrm{y}$为函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处切线上的函数值改变量.

以上面的分析为基础，下面给出微分的一般性定义。

定义4.3设函数$y=f(x)$在$x_{0}$点的某邻域内有定义，若在$x_{0}$点自变量的改变量$\Delta x$与对应的函数值的改变量$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$之间有下述关系：

$\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) \quad(\Delta x \rightarrow 0)$.

其中$A$是与$\Delta x$无关的常数，则称函数$y=f(x)$在$x_{0}$点可微，其中$A \Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$称为函数$y=f(x)$在$x_{0}$点的微分，记为$\mathrm{d} y=A \Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$.

由前面的分析知，$\mathrm{d} x=\Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$，故函数$y=f(x)$在$x_{0}$点的微分可写为

$\mathrm{d} \mathrm{y}=\mathrm{Adx}$

.

2、

定义3.3设$y=f(x)$在$x_{0}$的某一邻域内有定义，若在其中给$x_{0}$一个改变量$\Delta x$，相应的函数值的改变量$\Delta y$可表示如下：

$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=A \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$

其中$A$与$\Delta x$无关，则称$y=f(x)$在$x_{0}$点可微，且称$A \Delta x$为$f(x)$在$x_{0}$点的微分，记为

$\left.\mathrm{d} y\right|_{x=x_{0}}=\left.\mathrm{d} f\right|_{x=x_{0}}=A \Delta x$

因此当$A \neq 0$时，微分$\left.d y\right|_{x=x_{0}}$是函数值改变量$\left.\Delta y\right|_{x=x_{0}}$的主部.

若$f(x)$在$(a, b)$内处处可微，则称$f(x)$在$(a, b)$内可微，且称$f(x)$是$(a, b)$内的可微函数.这时微分

$\mathrm{d} \mathrm{y}=\mathrm{df}(\mathrm{x})=\mathrm{A}(\mathrm{x}) \Delta x$

是两个独立变量$x$和$\Delta x$的函数.

......

由性质3.7我们知道可导和可微是等价的条件，且微分函数$\mathrm{d} f(x)=f^{\prime}(x) \Delta x$中变量$\Delta x$是与$x$无关的变量，但是它是自变量$x$的微分。这是因为$f ( x ) = x$是可微函数，且$f ^ { \prime } ( x ) = 1$，因此

$\mathrm { d } x = \Delta x$

要注意的是，当$x$变化时，$dx$是不变的。因此任何可微函数$y = f ( x )$的微分可以用自变量的微分表示为

$\left. \mathrm { d } y \right| _ { \mathrm { x } - x _ { 0 } } = \left. \mathrm { d } f \right| _ { \mathrm { x } - x _ { 0 } } = f \left( x _ { 0 } \right) \mathrm { d } x d y = d f ( x ) = f ( x ) d x$

从而我们有

$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d y } { d x } = \frac { d f ( x ) } { d x }$

参考文献：

[1]张伦传，张倩伟.经济管理类数学分析(上册)[M].北京：清华大学出版社，2015：93-94.

[2]朱来义.微积分.第三版[M].北京：高等教育出版社，2009：73-74.